שבילים גיאומטריים וסבך

בעת כתיבת מאמר זה נזכרתי בשיר ישן מאוד מאת יאן פייטרזק, אותו שר לפני פעילותו הסאטירית בקברט Pod Egidą, המוכר ברפובליקה העממית הפולנית כשסתום בטיחות; אפשר היה לצחוק בכנות על הפרדוקסים של המערכת. בשיר זה המליץ ​​המחבר על השתתפות פוליטית סוציאליסטית, תוך לעג למי שרוצה להיות א-פוליטי ולכבות את הרדיו בעיתון. "עדיף לחזור לקריאה בבית הספר", שר פטשק אז בן XNUMX באירוניה.

אני חוזר לקריאה בבית הספר. אני קורא שוב (לא בפעם הראשונה) את ספרו של שצ'פן ילנסקי (1881-1949) "לילבטי". עבור מעט קוראים, המילה עצמה אומרת משהו. זהו שמה של בתו של המתמטיקאי ההינדי המפורסם הידוע בשם Bhaskara (1114-1185), בשם אקריה, או החכם ששם את ספרו על אלגברה בשם זה. לילוואטי הפכה מאוחר יותר למתמטיקאית ופילוסופית ידועה בעצמה. לפי מקורות אחרים, היא היא שכתבה את הספר בעצמה.

שצ'פן ילנסקי נתן את אותו כותרת לספרו על מתמטיקה (מהדורה ראשונה, 1926). אולי אפילו קשה לקרוא לספר הזה יצירה מתמטית – הוא היה יותר קבוצת חידות, ובמידה רבה נכתב מחדש ממקורות צרפתיים (זכויות יוצרים במובן המודרני לא היו קיימות). בכל מקרה, במשך שנים רבות הוא היה הספר הפולני הפופולרי היחיד על מתמטיקה - לימים נוסף אליו ספרו השני של ילנסקי, "המתוקים של פיתגורס". אז לצעירים שמתעניינים במתמטיקה (וזה בדיוק מה שהייתי פעם) לא היה מה לבחור...

מצד שני, את "לילאוואטי" היה צריך לדעת כמעט בעל פה... אה, היו זמנים... היתרון הכי גדול שלהם היה שהייתי אז נער. היום, מנקודת מבטו של מתמטיקאי משכיל, אני מסתכל על לילאוואתי בצורה אחרת לגמרי - אולי כמו מטפס על עיקולי השביל לשפיגלסובה פשלענך. לא האחד ולא השני מאבדים מקסמו... בסגנונו האופייני, שצ'פן ילנסקי, המתיימר בחייו האישיים על הרעיונות הלאומיים כביכול, הוא כותב בהקדמה:

מבלי לגעת בתיאור המאפיינים הלאומיים, אגיד שגם לאחר תשעים שנה, דבריו של ילנסקי על המתמטיקה לא איבדו את הרלוונטיות שלהם. מתמטיקה מלמדת אותך לחשוב. זו עובדה. האם נוכל ללמד אותך לחשוב אחרת, יותר פשוט ויפה יותר? אולי. זה פשוט... אנחנו עדיין לא יכולים. אני מסביר לתלמידים שלי שלא רוצים לעשות מתמטיקה שזה גם מבחן לאינטליגנציה שלהם. אם אתה לא יכול ללמוד תיאוריה מתמטית פשוטה באמת, אז... אולי היכולות המנטליות שלך גרועות ממה ששנינו היינו רוצים...?

שלטים בחול

והנה הסיפור הראשון ב"לילאוואטי" - סיפור שתיאר הפילוסוף הצרפתי ג'וזף דה מייסטר (1753-1821).

מלח מספינה טרופה הושלך על ידי גלים אל חוף ריק, שלדעתו לא מיושב. לפתע, בחול החוף, הוא ראה זכר לדמות גיאומטרית מצויירת לפני מישהו. אז הוא הבין שהאי אינו נטוש!

מצטט את דה מסטרי, ילנסקי כותב: דמות גיאומטריתזה היה ביטוי אילם לצירוף המקרים האומלל, הרוע הספינה, אבל הוא הראה לו במבט חטוף פרופורציה ומספר, וזה בישר על אדם נאור. עד כאן ההיסטוריה.

שימו לב שמלח יגרום לאותה תגובה, למשל על ידי ציור האות K, ... וכל זכר אחר לנוכחות אדם. כאן האידיאליזציה של הגיאומטריה.

עם זאת, האסטרונום קמיל פלמריון (1847-1925) הציע שציביליזציות יברכו זו את זו ממרחק באמצעות גיאומטריה. הוא ראה בכך את הניסיון היחיד הנכון והאפשרי לתקשורת. בואו נראה לאנוסים כאלה את משולשי פיתגורס... הם יענו לנו עם תאלס, אנחנו נענה להם עם דפוסי וייטה, המעגל שלהם יתאים למשולש, אז התחילה ידידות...

סופרים כמו ז'ול ורן וסטניסלב לם חזרו לרעיון הזה. ובשנת 1972, אריחים עם דפוסים גיאומטריים (ולא רק) הונחו על סיפון הגשושית פיוניר, שעדיין חוצה את מרחבי החלל, כיום כמעט 140 יחידות אסטרונומיות מאיתנו (1 I הוא המרחק הממוצע של כדור הארץ מכדור הארץ) . שמש, כלומר כ-149 מיליון ק"מ). האריח תוכנן, בחלקו, על ידי האסטרונום פרנק דרייק, יוצר הכלל השנוי במחלוקת על מספר הציוויליזציות מחוץ לכדור הארץ.

גיאומטריה מדהימה. כולנו מכירים את נקודת המבט הכללית על מקור המדע הזה. אנחנו (אנו בני האדם) רק התחלנו למדוד את הארץ (ובהמשך את הארץ) למטרות התועלתניות ביותר. קביעת מרחקים, שרטוט קווים ישרים, סימון זוויות ישרות וחישוב נפחים הפכו בהדרגה להכרח. מכאן כל העניין גיאומטריה ("מדידה של כדור הארץ"), ומכאן כל המתמטיקה ...

עם זאת, במשך זמן מה התמונה הברורה הזו של ההיסטוריה של המדע העיבה עלינו. שכן אם מתמטיקה הייתה נחוצה אך ורק למטרות מבצעיות, לא היינו עוסקים בהוכחת משפטים פשוטים. "אתה רואה שזה צריך להיות נכון בכלל", יגידו לאחר שבדקו שבכמה משולשים ישרים סכום ריבועי התחתון שווה לריבוע התחתון. למה פורמליזם כזה?

פאי שזיפים חייב להיות טעים, תוכנת המחשב צריכה לעבוד, המכונה צריכה לעבוד. אם ספרתי את קיבולת החבית שלושים פעם והכל בסדר, אז למה אחרת?

בינתיים, עלה בדעתם של היוונים הקדמונים שצריך למצוא כמה ראיות פורמליות.

אז, מתמטיקה מתחילה עם תאלס (625-547 לפנה"ס). ההנחה היא כי מילטוס הוא שהתחיל לתהות מדוע. לא מספיק לאנשים חכמים שהם ראו משהו, שהם משוכנעים במשהו. הם ראו צורך בהוכחה, רצף לוגי של טיעונים מהנחה לתזה.

הם גם רצו יותר. כנראה היה זה תאלס שניסה לראשונה להסביר תופעות פיזיקליות בצורה נטורליסטית, ללא התערבות אלוהית. הפילוסופיה האירופית התחילה בפילוסופיה של הטבע – במה שכבר עומד מאחורי הפיזיקה (ומכאן השם: מטפיזיקה). אבל היסודות של האונטולוגיה האירופית ופילוסופיית הטבע הונחו על ידי הפיתגוראים (פיתגורס, בערך 580-500 לפנה"ס).

הוא הקים בית ספר משלו בקרוטונה שבדרום חצי האי האפנינים - היום היינו קוראים לזה כת. מדע (במובן הנוכחי של המילה), מיסטיקה, דת ופנטזיה כולם שלובים זה בזה. תומס מאן הציג בצורה יפה מאוד את שיעורי המתמטיקה באולם התעמלות גרמני ברומן דוקטור פאוסטוס. תורגם על ידי מריה קורצקיה ו-ויטולד וירפוסה, קטע זה קורא:

בספרו המעניין של צ'רלס ואן דורן, תולדות הידע משחר ההיסטוריה ועד היום, מצאתי נקודת מבט מעניינת מאוד. באחד הפרקים מתאר המחבר את משמעותה של האסכולה הפיתגורית. עצם הכותרת של הפרק הדהימה אותי. כתוב: "המצאת המתמטיקה: הפיתגוראים".

לעתים קרובות אנו דנים אם תיאוריות מתמטיות מתגלות (למשל ארצות לא ידועות) או מומצאות (למשל מכונות שלא היו קיימות קודם לכן). חלק מהמתמטיקאים היצירתיים רואים את עצמם כחוקרים, אחרים כממציאים או מעצבים, לעתים רחוקות יותר מתנגדים.

אבל מחבר הספר הזה כותב על המצאת המתמטיקה באופן כללי.

מהגזמה לאשליה

לאחר חלק ההקדמה הארוך הזה, אעבור להתחלה. גיאומטריהלתאר כיצד הסתמכות יתר על גיאומטריה יכולה להטעות מדען. יוהנס קפלר ידוע בפיזיקה ובאסטרונומיה כמגלה שלושת חוקי התנועה של גרמי השמיים. ראשית, כל כוכב לכת במערכת השמש נע סביב השמש במסלול אליפטי, שאחד ממוקדיו היא השמש. שנית, במרווחים קבועים הקרן המובילה של כוכב הלכת, הנמשכת מהשמש, מציירת שדות שווים. שלישית, היחס בין ריבוע תקופת הסיבוב של כוכב לכת סביב השמש לקוביית הציר החצי-עיקרי של מסלולו (כלומר, המרחק הממוצע מהשמש) קבוע עבור כל כוכבי הלכת במערכת השמש.

אולי זה היה החוק השלישי – נדרשו הרבה נתונים וחישובים כדי לבסס אותו, מה שגרם לקפלר להמשיך ולחפש תבניות בתנועה ובמיקומם של כוכבי הלכת. ההיסטוריה של "התגלית" החדשה שלו מלמדת מאוד. מאז העת העתיקה, אנו מעריצים לא רק פוליהדרות רגילות, אלא גם טיעונים המראים שיש רק חמישה מהם בחלל. פולידרון תלת מימדי נקרא רגיל אם פניו הם מצולעים רגילים זהים ולכל קודקוד יש אותו מספר קצוות. לדוגמא, כל פינה של פולידרון רגיל צריכה "להיראות אותו הדבר". הפוליהדרון המפורסם ביותר הוא הקובייה. כולם ראו קרסול רגיל.

הטטרהדרון הרגיל פחות מוכר, ובבית הספר הוא נקרא הפירמידה המשולשת הרגילה. זה נראה כמו פירמידה. שלושת הפוליהדרות הרגילות הנותרות פחות מוכרות. אוקטהדרון נוצר כאשר אנו מחברים את מרכזי הקצוות של קובייה. הדודקהדרון והאיקוסהדרון כבר נראים כמו כדורים. עשויים מעור רך, הם יהיו נוחים לחפירה. הנימוק שאין פולי-הדרה רגילה מלבד חמשת המוצקים האפלטוניים הוא טוב מאוד. ראשית, אנו מבינים שאם הגוף רגיל, אז אותו מספר (תן q) של מצולעים סדירים זהים חייב להתכנס בכל קודקוד, תנו לאלו להיות זוויות p. כעת עלינו לזכור מהי הזווית במצולע רגיל. אם מישהו לא זוכר מבית הספר, אנחנו מזכירים לכם איך למצוא את הדפוס הנכון. עשינו טיול מעבר לפינה. בכל קודקוד נפנה דרך אותה זווית a. כשאנחנו מקיפים את המצולע וחוזרים לנקודת ההתחלה, עשינו p פניות כאלה, ובסך הכל הסתובבנו 360 מעלות.

אבל α הוא השלמה של 180 מעלות לזווית שאנו רוצים לחשב, ולכן היא

מצאנו את הנוסחה לזווית (מתמטיקאי היה אומר: מידות של זווית) של מצולע רגיל. בוא נבדוק: במשולש p = 3, אין a

ככה. כאשר p = 4 (ריבוע), אז

גם מעלות זה בסדר.

מה אנחנו מקבלים עבור מחומש? אז מה קורה כשיש q מצולעים, שלכל p יש את אותן זוויות

 מעלות יורדות בקודקוד אחד? אם זה היה במישור, אז הייתה נוצרת זווית

מעלות ולא יכול להיות יותר מ-360 מעלות - כי אז המצלעים חופפים.

עם זאת, מכיוון שהמצולעים הללו נפגשים במרחב, הזווית חייבת להיות קטנה מהזווית המלאה.

והנה אי השוויון שממנו הכל נובע:

חלקו אותו ב-180, הכפלו את שני החלקים ב-p, סדר (p-2) (q-2) < 4. מה להלן? בואו נהיה מודעים לכך ש-p ו-q חייבים להיות מספרים טבעיים וש-p > 2 (למה? ומה זה p?) וגם q > 2. אין הרבה דרכים להפוך את המכפלה של שני מספרים טבעיים לפחות מ-4. אנחנו אפרט את כולם בטבלה 1.

אני לא מפרסם ציורים, כל אחד יכול לראות את הדמויות האלה באינטרנט... באינטרנט... לא אסרב לסטייה לירית - אולי זה מעניין קוראים צעירים. בשנת 1970 דיברתי בסמינר. הנושא היה קשה. היה לי מעט זמן להתכונן, ישבתי בערבים. המאמר הראשי היה לקריאה בלבד במקום. המקום היה נעים, עם אווירת עבודה, ובכן, הוא נסגר בשבע. ואז הכלה (כיום אשתי) בעצמה הציעה לשכתב לי את כל הכתבה: כתריסר עמודים מודפסים. העתקתי אותו (לא, לא בעט נוצה, אפילו היו לנו עטים), ההרצאה הייתה מוצלחת. היום ניסיתי למצוא את הפרסום הזה, שכבר ישן. אני זוכר רק את שם המחבר... חיפושים באינטרנט נמשכו זמן רב... רבע שעה תמימות. אני חושב על זה בחיוך וקצת חרטה לא מוצדקת.

אנחנו חוזרים ל קפלרה בגיאומטריה. ככל הנראה, אפלטון חזה את קיומה של הצורה הרגילה החמישית מכיוון שחסר לו משהו מאחד, המכסה את כל העולם. אולי בגלל זה הוא הורה לתלמיד (Theajtet) לחפש אותה. כפי שהיה, כך היה, שעל בסיסו התגלה הדודקהדרון. אנו קוראים לגישה הזו של אפלטון פנתיאיזם. כל המדענים, עד ניוטון, נכנעו לה במידה רבה או פחותה. מאז המאה השמונה-עשרה הרציונלית ביותר, השפעתה פחתה באופן דרסטי, אם כי אל לנו להתבייש בכך שכולנו נכנעים לה בדרך זו או אחרת.

בתפיסה של קפלר לבניית מערכת השמש, הכל היה תקין, הנתונים הניסויים עלו בקנה אחד עם התיאוריה, התיאוריה הייתה קוהרנטית מבחינה לוגית, יפה מאוד...אבל שקרית לחלוטין. בתקופתו היו ידועים רק שישה כוכבי לכת: מרקורי, נוגה, כדור הארץ, מאדים, צדק ושבתאי. למה יש רק שישה כוכבי לכת? שאל קפלר. ואיזו סדירות קובעת את המרחק שלהם מהשמש? הוא הניח שהכל קשור, זה גיאומטריה וקוסמוגוניה קשורים זה לזה באופן הדוק. מכתביהם של היוונים הקדמונים, הוא ידע שיש רק חמש פוליהדרות רגילות. הוא ראה שיש חמישה חללים בין ששת המסלולים. אז אולי כל אחד מהמרחבים הפנויים האלה מתאים לאיזה פוליהדרון רגיל?

לאחר מספר שנים של התבוננות ועבודה תיאורטית, יצר את התיאוריה הבאה, שבעזרתה חישב בצורה מדויקת למדי את ממדי המסלולים, אותם הציג בספר "Mysterium Cosmographicum", שפורסם ב-1596: דמיינו כדור ענק, הקוטר שלו הוא קוטר מסלולו של מרקורי בתנועתו השנתית סביב השמש. ואז דמיינו שעל הכדור הזה יש אוקטהדרון רגיל, עליו כדור, עליו איקוסהדרון, עליו שוב כדור, עליו דודקהדרון, עליו כדור אחר, עליו טטרהדרון, ואז שוב כדור, קובייה ולבסוף, על הקובייה הזו מתואר הכדור.

קפלר הגיע למסקנה שהקטרים ​​של כדורים עוקבים אלה הם הקוטרים של מסלולים של כוכבי לכת אחרים: מרקורי, נוגה, כדור הארץ, מאדים, צדק ושבתאי. התיאוריה נראתה מדויקת מאוד. למרבה הצער, זה עלה בקנה אחד עם הנתונים הניסויים. ואיזו עדות טובה יותר לנכונותה של תיאוריה מתמטית מאשר התאמתה לנתונים ניסיוניים או לנתוני תצפית, במיוחד "נלקחים מגן עדן"? אני מסכם את החישובים האלה בטבלה 2. אז מה עשה קפלר? ניסיתי וניסיתי עד שזה הסתדר, כלומר כשהתצורה (סדר הכדורים) והחישובים שנוצרו עלו בקנה אחד עם נתוני התצפית. להלן דמויות וחישובים מודרניים של קפלר:

אפשר להיכנע לקסם התיאוריה ולהאמין שהמידות בשמים אינן מדויקות, ולא החישובים שנעשו בשתיקת הסדנה. למרבה הצער, היום אנחנו יודעים שיש לפחות תשעה כוכבי לכת ושכל צירופי המקרים של התוצאות הם רק צירוף מקרים. חבל. זה היה כל כך יפה...