וירוס קורונה וחינוך במתמטיקה - אוספים בהזמנה חלקית

הנגיף שפגע בנו מניע רפורמה חינוכית מהירה. במיוחד ברמות השכלה גבוהות יותר. בנושא זה, אתה יכול לכתוב חיבור ארוך יותר, בהחלט יהיה זרם של עבודות דוקטורט על המתודולוגיה של למידה מרחוק. מנקודת מבט מסוימת זוהי חזרה לשורשים ולהרגלי הלימוד העצמי הנשכחים. כך היה, למשל, בבית הספר התיכון "קרמנץ" (בקרמנץ, כיום באוקראינה, שהיה קיים בשנים 1805-31, צמח עד 1914 וחווה את ימי הזוהר שלו בשנים 1922-1939). התלמידים למדו שם לבד - רק לאחר שלמדו הגיעו המורים עם תיקונים, הבהרות אחרונות, עזרה במקומות קשים וכו'. ה.כשהפכתי לסטודנט אמרו גם שצריך לרכוש ידע בעצמנו, שרק מזמינים ושולחים שיעורים לאוניברסיטה. אבל אז זה היה רק ​​תיאוריה...

באביב 2020, אני לא היחיד שגילה שניתן לערוך שיעורים (כולל הרצאות, תרגילים וכו') ביעילות רבה מרחוק (Google Meet, Microsoft Teams וכו'), במחיר של עבודה רבה מצד המורה וסתם רצון "לקבל חינוך" מצד שני; אבל גם עם קצת נחמה: אני יושב בבית, בכורסה שלי, ובהרצאות מסורתיות, סטודנטים עשו הרבה פעמים גם משהו אחר. ההשפעה של הכשרה כזו יכולה להיות אפילו טובה יותר מאשר עם מערכת השיעורים המסורתית, שראשיתה מימי הביניים. מה יישאר ממנו כשהנגיף יגיע לעזאזל? אני חושב... די הרבה. אבל נראה.

היום אדבר על סטים שהוזמנו חלקית. זה פשוט. מכיוון שיחס בינארי בקבוצה לא ריקה X נקרא יחס סדר חלקי כאשר קיים

(תדיאוש קוטרבינסקי, 1886-1981, פילוסוף,

נשיא האקדמיה הפולנית למדעים בשנים 1957–1962).

1. רפלקסיבי, כלומר לכל ∈ יש ",
2. עובר אורח, כלומר. אם ", ו", אז ",
3. חצי א-סימטרי, כלומר («∧«)→ =

מחרוזת היא קבוצה עם המאפיין הבא: עבור כל שני אלמנטים, קבוצה זו היא "או y". אנטי צ'יין זה...

עצור עצור! האם ניתן להבין משהו מכל זה? כמובן שכן. אבל האם מישהו מהקוראים (יודע אחרת) כבר הבין מה יש כאן?

אני לא חושב! וזהו הקנון של הוראת מתמטיקה. גם בבית הספר. ראשית, הגדרה הגונה ומחמירה, ואחר כך, מי שלא נרדם משעמום בהחלט יבין משהו. שיטה זו נכפתה על ידי המורים "הגדולים" למתמטיקה. עליו להיות זהיר וקפדן. נכון שכך זה צריך להיות בסופו של דבר. מתמטיקה חייבת להיות מדע מדויק (ראה גם: ).

אני חייב להודות שבאוניברסיטה שבה אני עובד לאחר פרישתי מאוניברסיטת ורשה, גם לימדתי כל כך הרבה שנים. רק בו היה דלי המים הקרים הידוע לשמצה (שיישאר כך: היה צורך בדלי!). פתאום, הפשטה גבוהה הפכה לקלילה ונעימה. הגדר תשומת לב: קל לא אומר קל. גם המתאגרף הקל מתקשה.

אני מחייך לזכרונותיי. לימד אותי את יסודות המתמטיקה על ידי דיקן הפקולטה דאז, מתמטיקאי מהשורה הראשונה, שזה עתה הגיע משהייה ארוכה בארצות הברית, שבאותה תקופה הייתה משהו יוצא דופן בפני עצמו. אני חושב שהיא הייתה קצת סנובית כשהיא שכחה קצת פולנית. היא התעללה ב"מה" הפולני הישן, "לכן", "אזליה" וטבעה את המונח: "יחסים חצי א-סימטריים". אני אוהב להשתמש בו, זה ממש מדויק. אני אוהב. אבל אני לא דורש את זה מהסטודנטים. זה מכונה בדרך כלל "אנטי סימטריה נמוכה". עשרה יפים.

מזמן, כי בשנות השבעים (של המאה הקודמת) הייתה רפורמה גדולה ומשמחת בהוראת המתמטיקה. זה קרה במקביל לתחילת התקופה הקצרה של שלטונו של אדוארד גירק - פתיחה מסוימת של ארצנו לעולם. "אפשר ללמד ילדים גם מתמטיקה גבוהה יותר", קראו המורים הגדולים. סיכום ההרצאה באוניברסיטה "יסודות המתמטיקה" חובר לילדים. זו הייתה מגמה לא רק בפולין, אלא בכל אירופה. פתרון המשוואה לא הספיק, כל פרט היה צריך להיות מוסבר. כדי לא להיות מופרך, כל אחד מהקוראים יכול לפתור את מערכת המשוואות:

אבל התלמידים היו צריכים להצדיק כל שלב, להתייחס להצהרות רלוונטיות וכו'. זה היה עודף קלאסי של צורה על פני תוכן. קל לי להעביר ביקורת עכשיו. גם אני הייתי פעם תומכת בגישה הזו. זה מרגש... לצעירים שמתלהבים ממתמטיקה. זה, כמובן, היה (ולמען תשומת הלב, אני).

אבל די לסטייה, בואו ניגש לעניינים: הרצאה ש"תיאורטית" נועדה לתלמידי כיתה ב' של הפוליטכני והייתה יבשה כמו פתיתי קוקוס אלמלא היא. אני קצת מגזים...

בוקר טוב לך. הנושא של היום הוא ניקיון חלקי. לא, זה לא רמז לניקוי רשלני. ההשוואה הטובה ביותר תהיה לשקול מה עדיף: מרק עגבניות או עוגת שמנת. התשובה ברורה: תלוי מה. לקינוח - עוגיות, ולמנה מזינה: מרק.

במתמטיקה אנו עוסקים במספרים. הם מסודרים: הם גדולים יותר ופחות, אבל משני מספרים שונים, האחד תמיד קטן, מה שאומר שהשני גדול יותר. הם מסודרים לפי הסדר, כמו אותיות באלפבית. ביומן הכיתה, הסדר יכול להיות כך: אדמצ'יק, בגינסקאיה, חויניצקי, דרקובסקי, אלגט, פיליפוב, גז'צ'ניק, חולניצקי (הם חברים וחברים מהכיתה שלי!). גם אין לנו ספק שמתושיאק "מתושליאנסקי" מתושבסקי "מטיסיאק. לסמל "אי שוויון כפול" יש משמעות "לפני".

במועדון הטיולים שלי, אנחנו מנסים להפוך את הרשימות לאלפביתיות, אבל לפי השם, למשל, אלינה וורונסקה "וורורה קצ'רסקה", סזאר בושיץ וכו'. ברישומים הרשמיים, הסדר היה הפוך. מתמטיקאים מתייחסים לסדר האלפביתי כאלקסיקוגרפי (לקסיקון הוא פחות או יותר כמו מילון). מצד שני, סדר כזה, שבו בשם המורכב משני חלקים (מיכל שורק, אלינה וורנסקה, סטניסלב סמז'ינסקי) אנחנו מסתכלים תחילה על החלק השני, הוא סדר אנטי-לקסיקוגרפי למתמטיקאים. כותרות ארוכות, אבל תוכן פשוט מאוד.

1. סדר לינארי: תחנות ותחנות במסילת הרכבת חבובקה-זקופאנה מפודהלה, שנבנתה ב-1899 (את פענוח הקיצורים אני משאיר לקורא).

כל פקודות כאלה נקראות פקודות קו. אנו מזמינים בתורו: ראשון, שני, שלישי. הכל מסודר, מהנקודה הראשונה ועד האחרונה. זה לא תמיד הגיוני. אחרי הכל, אנחנו מסדרים ספרים בספרייה לא ככה, אלא במדורים. רק בתוך המחלקה אנחנו מסדרים באופן ליניארי (בדרך כלל לפי אלפביתי).

2. סדר לינארי: בעת התנעת מנוע הרכב אנו מבצעים פעולות בסדר עקבי.

עם פרויקטים גדולים יותר, במיוחד בעבודת צוות, אין לנו יותר סדר ליניארי. בוא נסתכל על תאנה. 3. אנחנו רוצים להקים מלון קטן. כבר יש לנו כסף (תא 0). אנו עורכים היתרים, אוספים חומרים, מתחילים בבנייה ובמקביל מבצעים קמפיין פרסומי, מחפשים עובדים וכו' וכו'. כשנגיע ל-"10", האורחים הראשונים יכולים לבצע צ'ק-אין (דוגמה מסיפוריהם של מר דומברובסקי והמלון הקטן שלהם בפרברי קרקוב). יש לנו סדר לא ליניארי - כמה דברים יכולים לקרות במקביל.

בכלכלה תלמדו על מושג הנתיב הקריטי. זהו מכלול הפעולות שיש לבצע ברצף (וזה נקרא שרשרת במתמטיקה, עוד על כך בעוד רגע), ואשר לוקחות את הזמן הרב ביותר. צמצום זמן הבנייה הוא ארגון מחדש של הנתיב הקריטי. אבל עוד על זה בהרצאות אחרות (אני מזכיר לך שאני קורא "הרצאה באוניברסיטה"). אנחנו מתמקדים במתמטיקה.

דיאגרמות כמו איור 3 נקראות דיאגרמות האסה (הלמוט האסה, מתמטיקאי גרמני, 1898–1979). כל מאמץ מורכב חייב להיות מתוכנן כך. אנו רואים רצפים של פעולות: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. מתמטיקאים קוראים להם מחרוזות. כל הרעיון מורכב מארבע שרשראות. לעומת זאת, קבוצות פעילות 1-2-3-4, 5-6-7 ו-8-9 הן אנטי-שרשרת. הנה איך קוראים להם. העובדה היא שבקבוצה מסוימת, אף אחת מהפעולות לא תלויה בקודמתה.

4. זהו גם דיאגרמת האסה.

בוא נלך ל ציור 4. מה מרשים? אבל זה יכול להיות מפת מטרו בעיר כלשהי! מסילות רכבת תת-קרקעיות מקובצות תמיד בקווים - הן אינן עוברות מאחת לשנייה. קווים הם קווים נפרדים. בעיר איור. 4 הוא לאפות קו (זכור את זה לאפות כתוב "boldem" - בפולנית זה נקרא חצי עבה).

בתרשים זה (איור 4) יש ABF צהוב קצר, ACFPS של שש תחנות, ADGL ירוק, DGMRT כחול והאדום הארוך ביותר. המתמטיקאי יאמר: יש לתרשים האסה הזה לאפות שרשראות. זה על הקו האדום שבעה תחנה: AEINRUW. מה לגבי נוגדי שרשרת? יש הם שבעה. הקורא כבר שם לב שהדגשתי את המילה כפולה שבעה.

אנטי-צ'יין זו קבוצה כזו של תחנות שאי אפשר להגיע מאחת מהן לאחרת ללא העברה. כאשר "נבין" מעט, נראה את האנטי-שרשרות הבאות: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. אנא בדקו, למשל, לא ניתן לנסוע מאף אחת מתחנות BCLTV ל-BCTLV אחר ללא העברה, ליתר דיוק: ללא צורך לחזור לתחנה המוצגת למטה. כמה אנטי-שרשראות יש? שבע. מה הגודל הגדול ביותר? לֶאֱפוֹת (שוב מודגש).

אתם יכולים לתאר לעצמכם, תלמידים, שצירוף המקרים של המספרים הללו אינו מקרי. זֶה. זה התגלה והוכח (כלומר תמיד כך) בשנת 1950 על ידי רוברט פאלמר דילוורת' (1914–1993, מתמטיקאי אמריקאי). מספר השורות הדרושות לכיסוי כל הסט שווה לגודל האנטי-שרשרת הגדול ביותר, ולהיפך: מספר האנטי-שרשרת שווה לאורך של האנטי-שרשרת הארוכה ביותר. זה תמיד המצב בסט מסודר חלקית, כלומר. כזה שניתן לדמיין. דיאגרמת הסגו. זו לא ממש הגדרה נוקשה ונכונה. זה מה שמתמטיקאים מכנים "הגדרת עבודה". זה שונה במקצת מ"הגדרת העבודה". זהו רמז כיצד להבין סטים מסודרים חלקית. זה חלק חשוב בכל אימון: ראה איך זה עובד.

הקיצור האנגלי הוא - המילה הזו נשמעת יפה בשפות סלאביות, קצת כמו גדילן. שימו לב שגם הגדילן מסועף.

נחמד מאוד, אבל מי צריך את זה? אתם, תלמידים יקרים, צריכים את זה כדי לעבור את הבחינה, וזו כנראה סיבה מספיק טובה ללמוד אותה. אני מקשיב, איזה שאלות? אני מקשיב, אדוני מתחת לחלון. הו, השאלה היא, האם זה אי פעם יועיל לאדון בחייך? אולי לא, אבל למישהו יותר חכם ממך, בטוח... אולי לניתוח נתיב קריטי בפרויקט כלכלי מורכב?

אני כותב את הטקסט הזה באמצע יוני, הבחירות של הרקטור מתקיימות באוניברסיטת ורשה. קראתי מספר תגובות של משתמשי אינטרנט. יש כמות מפתיעה של שנאה (או "שנאה") כלפי "אנשים משכילים". מישהו כתב בבוטות שבעלי השכלה אוניברסיטאית יודעים פחות מבעלי השכלה אוניברסיטאית. כמובן שלא אכנס לדיון. עצוב לי שהדעה המבוססת ברפובליקה העממית הפולנית חוזרת שאפשר לעשות הכל עם פטיש ואזמל. אני חוזר למתמטיקה.

משפט דילוורת' יש כמה שימושים מעניינים. אחד מהם ידוע בתור משפט הנישואין.תאנה. 6). 

יש קבוצה של נשים (דווקא בנות) וקבוצה קצת יותר גדולה של גברים. כל בחורה חושבת משהו כמו זה: "יכולתי להתחתן עם זה בשביל אחרת, אבל בחיים שלי לא לשלישי." וכן הלאה, לכל אחד יש העדפות משלו. אנו מציירים תרשים, המוביל לכל אחד מהם חץ מהבחור שהוא לא דוחה כמועמד למזבח. ש: האם ניתן להתאים זוגות כך שכל אחת תמצא בעל שהיא מקבלת?

משפט פיליפ הול, אומר שאפשר לעשות זאת - בתנאים מסוימים, שלא אדון בהם כאן (ואז בהרצאה הבאה, סטודנטים בבקשה). שים לב, עם זאת, שביעות רצון גברית לא מוזכרת כאן כלל. כידוע, נשים הן בוחרות בנו, ולא להיפך, כפי שזה נראה לנו (אני מזכירה לך שאני סופרת, לא סופרת).

קצת מתמטיקה רצינית. כיצד נובע משפט הול מדילוורת'? זה מאוד פשוט. נתבונן שוב באיור 6. השרשראות שם קצרות מאוד: יש להן אורך של 2 (פועלות בכיוון). קבוצה של גברים קטנים היא אנטי שרשרת (דווקא בגלל שהחצים רק לכיוון). כך, אתה יכול לכסות את כל הקולקציה עם רשתות נגד כמו שיש גברים. אז לכל אישה יהיה חץ. וזה אומר שהיא יכולה להיראות כמו הבחור שהיא מקבלת!!!

רגע, מישהו שואל, זה הכל? זה הכל אפליקציה? הורמונים איכשהו יסתדרו ולמה מתמטיקה? ראשית, זו לא כל האפליקציה, אלא רק אחת מסדרה גדולה. בואו נסתכל על אחד מהם. תנו (איור 6) לא מתכוונים לנציגי המין הטוב יותר, אלא לקונים פרוזאיים, ואלו מותגים, למשל, מכוניות, מכונות כביסה, מוצרי הרזיה, הצעות של סוכנויות נסיעות וכו'. לכל קונה יש מותגים שהוא מקבל עליהם. דוחה. האם ניתן לעשות משהו כדי למכור משהו לכולם וכיצד? כאן מסתיימות לא רק הבדיחות, אלא גם הידע של מחבר המאמר בנושא זה. כל מה שאני יודע הוא שהניתוח מבוסס על מתמטיקה מורכבת למדי.

לימוד מתמטיקה בבית הספר הוא לימוד אלגוריתמים. זהו חלק חשוב בלמידה. אבל לאט לאט אנחנו מתקדמים לקראת לימוד לא כל כך מתמטיקה כמו השיטה המתמטית. ההרצאה של היום הייתה בדיוק על זה: אנחנו מדברים על מבנים נפשיים מופשטים, אנחנו חושבים על חיי היומיום. אנחנו מדברים על שרשראות ואנטי-שרשרות בסטים עם יחסים הפוכים, טרנזיטיביים ואחרים שבהם אנו משתמשים במודלים של מוכר-קונה. המחשב יעשה עבורנו את כל החישובים. הוא לא יצור מודלים מתמטיים עדיין. אנחנו עדיין מנצחים עם החשיבה שלנו. בכל מקרה, מקווה כמה שיותר זמן!