מתמטיקה חדשה במכונה? דפוסים אלגנטיים וחוסר אונים
על פי כמה מומחים, מכונות יכולות להמציא או, אם תרצו, לגלות מתמטיקה חדשה לגמרי שאנו בני האדם מעולם לא ראינו או חשבנו עליה. אחרים טוענים שמכונות אינן ממציאות דבר בעצמן, הן יכולות רק לייצג את הנוסחאות שאנו מכירים בצורה שונה, והן אינן יכולות להתמודד עם כמה בעיות מתמטיות כלל.
לאחרונה הציגה קבוצת מדענים ממכון הטכניון בישראל וגוגל מערכת אוטומטית להפקת משפטיםשהם כינו את מכונת הרמנוג'אן על שם המתמטיקאי Srinivasi Ramanujanaשפיתח אלפי נוסחאות פורצות דרך בתורת המספרים עם השכלה מועטה או ללא השכלה פורמלית. המערכת שפיתחו החוקרים הפכה מספר נוסחאות מקוריות וחשובות לקבועים אוניברסליים המופיעים במתמטיקה. מאמר בנושא זה פורסם בכתב העת Nature.
ניתן להשתמש באחת הנוסחאות שנוצרו במכונה כדי לחשב את הערך של קבוע אוניברסלי שנקרא מספר קטלוני, יעיל יותר מאשר שימוש בנוסחאות ידועות בעבר שהתגלו על ידי אדם. עם זאת, מדענים טוענים זאת המכונית של רמנוג'אן זה לא נועד לקחת מתמטיקה מאנשים, אלא להציע עזרה למתמטיקאים. עם זאת, זה לא אומר שהמערכת שלהם נטולת שאפתנות. כפי שהם כותבים, המכונה "מנסה לחקות את האינטואיציה המתמטית של המתמטיקאים הגדולים ולספק רמזים למסעות מתמטיים נוספים".
המערכת מניחה הנחות לגבי הערכים של קבועים אוניברסליים (כגון) הכתובים כנוסחאות אלגנטיות הנקראות שברים מתמשכים או שברים מתמשכים (1). זהו שמה של שיטת הביטוי של מספר ממשי כשבר בצורה מיוחדת או הגבול של שברים כאלה. שבר המשך יכול להיות סופי או בעל אינסוף מנות.i/bi; שבר א'k/Bk המתקבל על ידי השלכת השברים החלקיים בשבר המתמשך, החל מה- (k + 1), נקראת הפחתה kth וניתן לחשב אותה באמצעות הנוסחאות:-1= 1, א0=b0, B-1=0,V0= 1, אk=bkAk-1+akAk-2, Bk=bkBk-1+akBk-2; אם רצף הרדוקטים מתכנס לגבול סופי, אז השבר המתמשך נקרא מתכנס, אחרת הוא מתפצל; שבר המשך נקרא אריתמטי אםi= 1, p0 הושלם, בi (i>0) – טבעי; שבר המשך אריתמטי מתכנס; כל מספר ממשי מתרחב לשבר אריתמטי מתמשך, שהוא סופי רק עבור מספרים רציונליים.
1. דוגמה לכתיבת Pi כשבר המשך
אלגוריתם מכונת Ramanujan בוחר את הקבועים האוניברסליים עבור הצד השמאלי ואת כל השברים המתמשכים עבור הצד הימני, ולאחר מכן מחשב כל צד בנפרד עם דיוק מסוים. אם נראה ששני הצדדים חופפים, הכמויות מחושבות ביתר דיוק כדי להבטיח שההתאמה אינה התאמה או אי דיוק. חשוב לציין, יש כבר נוסחאות המאפשרות לך לחשב את הערך של קבועים אוניברסליים, למשל, בכל דיוק, כך שהמכשול היחיד בבדיקת התאמה של עמודים הוא זמן החישוב.
לפני יישום אלגוריתמים כאלה, מתמטיקאים היו צריכים להשתמש באלגוריתמים קיים. ידע מתמטי i משפטיםלעשות הנחה כזו. הודות לניחושים האוטומטיים שנוצרו על ידי אלגוריתמים, מתמטיקאים יכולים להשתמש בהם כדי ליצור מחדש משפטים נסתרים או תוצאות "אלגנטיות" יותר.
התגלית הבולטת ביותר של חוקרים היא לא כל כך ידע חדש אלא הנחה חדשה בעלת חשיבות מפתיעה. זה מאפשר חישוב הקבוע הקטלאני, קבוע אוניברסלי שערכו נחוץ בבעיות מתמטיות רבות. הבעתו כשבריר מתמשך בהנחה שהתגלתה לאחרונה מאפשרת לבצע את החישובים המהירים ביותר עד כה, ולהביס נוסחאות קודמות שלקח זמן רב יותר לעבד אותן במחשב. נראה שזה מסמן נקודת התקדמות חדשה עבור מדעי המחשב מאז שהמחשבים ניצחו לראשונה שחקני שחמט.
מה AI לא יכול להתמודד
אלגוריתמים של מכונה כפי שאתה יכול לראות, הם עושים כמה דברים בצורה חדשנית ויעילה. מול בעיות אחרות, הם חסרי אונים. קבוצת חוקרים מאוניברסיטת ווטרלו בקנדה גילתה סוג של בעיות בשימוש למידת מכונה. התגלית קשורה לפרדוקס שתואר באמצע המאה הקודמת על ידי המתמטיקאי האוסטרי קורט גדל.
המתמטיקאי שי בן דוד וצוותו הציגו מודל למידת מכונה בשם חיזוי מקסימלי (EMX) בפרסום בכתב העת Nature. נראה שמשימה פשוטה התבררה כבלתי אפשרית עבור בינה מלאכותית. בעיה שהוצגה על ידי הצוות שי בן דוד מסתכם בחיזוי מסע הפרסום הרווחי ביותר, המתמקד בקוראים המבקרים באתר בתדירות הגבוהה ביותר. מספר האפשרויות כל כך גדול עד שהרשת העצבית לא מצליחה למצוא פונקציה שתנבא נכון את התנהגותם של משתמשי האתר, כשיש לרשותה רק מדגם קטן של נתונים.
התברר שחלק מהבעיות שמציבות רשתות עצביות שוות להשערת הרצף שהציב גאורג קנטור. המתמטיקאי הגרמני הוכיח שהקרדינליות של קבוצת המספרים הטבעיים קטנה מהקרדינליות של קבוצת המספרים הממשיים. ואז הוא שאל שאלה שלא יכול היה לענות עליה. כלומר, הוא תהה האם יש קבוצה אינסופית שהקרדינליות שלה קטנה מהקרדינליות קבוצה של מספרים ממשייםאבל יותר כוח קבוצה של מספרים טבעיים.
מתמטיקאי אוסטרי מהמאה ה- XNUMX. קורט גודל הוכיח כי השערת הרצף אינה ניתנת להכרעה במערכת המתמטית הנוכחית. כעת מתברר שמתמטיקאים שמתכננים רשתות עצביות התמודדו עם בעיה דומה.
לכן, למרות שהוא בלתי נראה לנו, כפי שאנו רואים, הוא חסר אונים מול מגבלות יסוד. מדענים תוהים אם עם בעיות מהמעמד הזה, כמו סטים אינסופיים, למשל.
