למה שלא נחלק באפס?
הקוראים עשויים לתהות מדוע אני מקדיש מאמר שלם לנושא כל כך בנאלי? הסיבה היא המספר המדהים של תלמידים (!) שמבצעים כלאחר יד את הפעולה תחת השם. ולא רק תלמידים. לפעמים אני תופס ומורים. מה תלמידיהם של מורים כאלה יוכלו לעשות במתמטיקה? הסיבה המיידית לכתיבת הטקסט הזה הייתה שיחה עם מורה שחלוקה באפס לא הייתה בעיה עבורה...
עם אפס, כן, למעט הטרחה של כלום, כי אנחנו לא באמת צריכים להשתמש בו בחיי היומיום. אנחנו לא הולכים לקנות אפס ביצים. "יש אדם אחד בחדר" נשמע טבעי איכשהו, ו"אפס אנשים" נשמע מלאכותי. בלשנים אומרים שאפס נמצא מחוץ למערכת השפה.
אנחנו יכולים להסתדר בלי האפס גם בחשבונות בנק: פשוט השתמש - כמו במדחום - באדום וכחול לערכים חיוביים ושליליים (שימו לב שלטמפרטורה טבעי להשתמש באדום למספרים חיוביים, ולחשבונות בנק זה זה הפוך, כי החיוב אמור להפעיל אזהרה, אז אדום מומלץ מאוד).
על ידי הכללת אפס כמספר טבעי, אנו נוגעים בבעיית ההבחנה מספרי קרדינל od בית. בתוך 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
כוחו של המספר זהה למספר המקום שבו הוא עומד. אחרת, זה כבר ברצף 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
מספר קבוצות יחיד מגיע במקום השני, מספר קבוצות עם שני אלמנטים מגיע למקום השלישי, וכן הלאה. אנחנו צריכים להסביר למה, למשל, אנחנו לא ממספרים את המקומות של הספורטאים בתחרויות מאפס. ואז הזוכה במקום הראשון יקבל מדליית כסף (זהב הלך לזוכה במקום האפס), וכן הלאה. נוהל קצת דומה היה נהוג בכדורגל - אני לא יודע אם הקוראים יודעים ש"ליגה א'" פירושו " בעקבות הטובים ביותר". ", וליגת האפס נקראת להפוך ל"ליגה הבכירה".
לפעמים אנחנו שומעים את הטיעון שצריך להתחיל מאפס, כי זה נוח לאנשי IT. בהמשך לשיקולים אלו, יש לשנות את ההגדרה של קילומטר - הוא צריך להיות 1024 מ', כי זה מספר הבתים בקילו-בייט (אתייחס לבדיחה המוכרת למדעני מחשבים: "מה ההבדל בין תלמיד א' לבין סטודנט למדעי המחשב וסטודנט שנה חמישית בפקולטה זו? קילובייט הוא 1000 קילובייט, האחרון - שקילומטר הוא 1024 מטר")!
נקודת מבט נוספת, שכבר צריך להתייחס אליה ברצינות, היא זו: אנחנו תמיד מודדים מאפס! מספיק להסתכל על כל קנה מידה על הסרגל, על מאזניים ביתיים, אפילו על השעון. מכיוון שאנו מודדים מאפס, ואפשר להבין את הספירה כמדידה עם יחידה חסרת ממד, אז עלינו לספור מאפס.
זה עניין פשוט, אבל...
נעזוב את ההיגיון הכללי ונחזור לחלוקה באפס. העניין פשוט והיה פשוט לולא...אז מה? בואו נחשוב וננסה. כמה זה יכול להיות - אחד חלקי אפס? בוא נראה: 1/0 = x. הכפל את שני הצדדים במכנה של הצד השמאלי.
נקבל 1=0. משהו לא בסדר! מה קרה? אה נחש! ההנחה שיש מנה של אחדות ואפס מובילה לסתירה. ואם אי אפשר לחלק אחד באפס, אז מספר אחר יכול. אם, קורא, אתה מושך בכתפיים ותוהה מדוע המחבר (כלומר, אני) כותב על פלצות כאלה, אז... אני שמח מאוד!
ניתן להגן על הנוסחה 0/0 = 0 על בסיס עיקש, אך היא סותרת את הכלל שהתוצאה של חלוקת מספר בעצמה שווה לאחד. בהחלט, אבל די שונים הם סמלים כמו 0/0, °/° וכדומה בחשבון. הם אינם מתכוונים למספר כלשהו, אלא הם ייעודים סמליים לרצפים מסוימים מסוגים מסוימים.
בספר הנדסת חשמל מצאתי השוואה מעניינת: חלוקה באפס מסוכנת בדיוק כמו חשמל במתח גבוה. זה נורמלי: חוק אוהם קובע שהיחס בין מתח להתנגדות שווה לזרם: V = U / R. אם ההתנגדות הייתה אפס, זרם אינסופי תיאורטית היה זורם דרך המוליך, ושורף את כל המוליכים האפשריים.
פעם כתבתי שיר על הסכנות שבחלוקה באפס עבור כל יום בשבוע. אני זוכר שהיום הכי דרמטי היה יום חמישי, אבל חבל על כל העבודה שלי בתחום הזה.
כשאתה מחלק משהו באפס
יום שני מוקדם מאוד
שבוע מה שקרה הרגע
כבר נכשלת כישלון חרוץ.
מתי יום שלישי אחר הצהריים
אתה שם אפס במכנה
אז אני אגיד לך שאתה טועה
מתמטיקאי גרוע!
כאשר דרך אפס, דרך סטייה,
רוצה להתפצל ביום רביעי
אתה תסתבך בצרות רבות
יש לך חציר ומים בראש!
ברטק מסוים היה איתנו.
הוא היה בסתירה לכללים.
ביום חמישי הוא מתחלק באפס.
הוא כבר לא בינינו!
אם תשוקה מוזרה תופסת אותך
חלקו באפס ביום שישי
אני אהיה כנה, אני אהיה כנה:
התחלה גרועה לסוף השבוע הזה.
כשזה אפס, אי שם בשבת
המפריד יהיה שלך (לא מודגש)
כרע ברך מתחת לגדר הכנסייה.
זו תחיית המתים שלך.
האם אתה רוצה אפס מתחת למקף,
עשה חג ביום ראשון
תביא גיר, לוח שחור.
כתוב: זה לא מתחלק באפס!
אפס קשור לריקנות ולאין. ואכן, הוא הגיע למתמטיקה ככמות שכאשר היא מוסיפה לכל אחת, אינה משנה אותה: x + 0 = x. אבל עכשיו אפס מופיע בכמה ערכים אחרים, בעיקר בתור התחלה בקנה מידה. אם מחוץ לחלון אין טמפרטורה חיובית ולא כפור, אז ... זה אפס, מה שלא אומר שאין טמפרטורה בכלל. אנדרטה ברמה אפס היא לא כזו שנהרסה מזמן ופשוט לא קיימת. להיפך, זה משהו כמו הוואול, מגדל אייפל ופסל החירות.
ובכן, בקושי ניתן להפריז בחשיבותו של אפס במערכת מיקום. האם אתה יודע, קורא, כמה אפסים יש לביל גייטס בחשבון הבנק שלו? אני לא יודע, אבל אני רוצה חצי. ככל הנראה, נפוליאון בונפרטה שם לב שאנשים הם כמו אפסים: הם רוכשים משמעות באמצעות עמדה. בסרטו של אנדז'יי וואג'דה כמו השנים, ככל שהימים עוברים, מתפוצץ האמן הנלהב יז'י: "הפלשתי הוא אפס, ניהיל, כלום, כלום, ניהיל, אפס". אבל אפס יכול להיות טוב: "אפס סטייה מהנורמה" אומר שהכל הולך כשורה, ותמשיכו כך!
בואו נחזור למתמטיקה. ניתן להוסיף, לגרוע ולהכפיל אפס ללא עונש. "עליתי אפס קילוגרמים", אומרת מאניה לאניה. "וזה מעניין, כי ירדתי באותו משקל", עונה אניה. אז בוא נאכל שש פעמים שש אפס מנות גלידה, זה לא יזיק לנו.
אנחנו לא יכולים לחלק באפס, אבל אנחנו יכולים לחלק באפס. צלחת של כופתאות אפס אפשר לחלק בקלות למי שממתין לאוכל. כמה יקבל כל אחד?
אפס אינו חיובי או שלילי. זה והמספר לא חיוביи לא שלילי. הוא עונה על אי השוויון x≥0 ו-x≤0. הסתירה "משהו חיובי" אינה "משהו שלילי", אלא "משהו שלילי או שווה לאפס". מתמטיקאים, בניגוד לכללי השפה, תמיד יאמרו שמשהו "שווה לאפס" ולא "אפס". כדי להצדיק את הנוהג הזה, יש לנו: אם אנו קוראים את הנוסחה x = 0 "x שווה לאפס" אז x = 1 נקרא "x שווה לאחד", שאפשר לבלוע, אבל מה לגבי "x = 1534267" ? אתה גם לא יכול להקצות ערך מספרי לתו 00ולא להעלות אפס לחזקה שלילית. מצד שני, אתה יכול לשרש אפס כרצונך... והתוצאה תמיד תהיה אפס.
פונקציה מעריכית y = ax, הבסיס החיובי של a, לעולם לא הופך לאפס. מכאן נובע שאין לוגריתם אפס. ואכן, הלוגריתם של a לבסיס b הוא המעריך שאליו יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את הלוגריתם של a. עבור a = 0, אין אינדיקטור כזה, ואפס לא יכול להיות הבסיס של הלוגריתם. עם זאת, האפס ב"מכנה" של הסמל של ניוטון הוא משהו אחר. אנו מניחים שהמוסכמות הללו אינן מובילות לסתירה.
ראיות כוזבות
חלוקה באפס היא נושא נפוץ להוכחות שווא, וזה קורה אפילו למתמטיקאים מנוסים. הרשו לי לתת לכם שתיים מהדוגמאות האהובות עלי. הראשון הוא אלגברי. אני "אוכיח" שכל המספרים שווים. נניח שיש שני מספרים שאינם שווים. לכן, אחד מהם גדול מהשני, תן א > ב. הבה נניח ש-c הוא ההבדל שלהם
c \uXNUMXd a - ב. אז יש לנו a - b = c, ומכאן a = b + c.
נכפיל את שני החלקים של האחרון ב-a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
אני מתרגם ak לצד שמאל, כמובן שאני זוכר לגבי החלפת השלט:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
אני לא כולל גורמים נפוצים:
A (א-ב-ג) \uXNUMXd ב (א-ב-ג),
אני משתף ויש לי את מה שרציתי:
a = ב.
ובעצם עוד יותר מוזר, כי הנחתי ש-a > b, וקיבלתי ש-a = b. אם בדוגמה למעלה קל לזהות את "רמאות", אז בהוכחה הגיאומטרית למטה זה לא כל כך קל. אני אוכיח ש... הטרפז לא קיים. הדמות המכונה בדרך כלל טרפז אינה קיימת.
אבל נניח תחילה שיש דבר כזה טרפז (ABCD באיור למטה). יש לו שתי צלעות מקבילות ("בסיסים"). בואו למתוח את הבסיסים הללו, כפי שמוצג בתמונה, כך שנקבל מקבילית. האלכסונים שלו מחלקים את האלכסון השני של הטרפז למקטעים שאורכם מסומנים x, y, z, כמו ב ציור 1. מהדמיון של המשולשים המתאימים, נקבל את הפרופורציות:
איפה אנחנו מגדירים:
אורז
איפה אנחנו מגדירים:
הורידו את הצדדים של השוויון המסומנים בכוכביות:
קיצור שני הצדדים ב-x − z, נקבל – a/b = 1, כלומר a + b = 0. אבל המספרים a, b הם אורכי הבסיסים של הטרפז. אם הסכום שלהם הוא אפס, אז הם גם אפס. זה אומר שדמות כמו טרפז לא יכולה להתקיים! ומכיוון שמלבנים, מעוינים ומרובעים הם גם טרפזים, אז, קורא יקר, אין גם מעוינים, מלבנים ומרובעים ...
נחש נחש
שיתוף מידע הוא המעניין והמאתגר מבין ארבע הפעילויות הבסיסיות. כאן, לראשונה, אנו נתקלים בתופעה שכיחה כל כך בבגרות: "נחשו את התשובה, ואז תבדקו אם ניחשתם נכון". זה בא לידי ביטוי בצורה מאוד הולמת על ידי דניאל ק. דנט ("איך לעשות טעויות?", ב- How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
שיטת ה"ניחוש" הזו לא מפריעה לחיים הבוגרים שלנו – אולי בגלל שאנחנו לומדים אותה מוקדם וניחוש לא קשה. מבחינה אידיאולוגית, אותה תופעה מתרחשת, למשל, באינדוקציה מתמטית (שלמה). באותו מקום אנחנו "מנחשים" את הנוסחה ואז בודקים אם הניחוש שלנו נכון. תלמידים תמיד שואלים: "איך הכרנו את הדפוס? איך אפשר להוציא את זה?" כשסטודנטים שואלים אותי את השאלה הזו, אני הופך את השאלה שלהם לבדיחה: "אני יודע את זה כי אני מקצוען, כי משלמים לי לדעת". אפשר לענות לתלמידים בבית הספר באותו סגנון, רק יותר ברצינות.
התעמלות. שימו לב שנתחיל חיבור וכפל כתוב עם היחידה הנמוכה ביותר, וחילוק עם היחידה הגבוהה ביותר.
שילוב של שני רעיונות
מורים למתמטיקה תמיד ציינו שמה שאנו מכנים הפרדה של מבוגרים הוא איחוד של שני רעיונות שונים מבחינה מושגית: דיור i הַפרָדָה.
הראשון (דיור) מתרחשת במשימות שבהן האבטיפוס הוא:
תחלק-תחלק אלו הן משימות כגון:
? (אנחנו שומרים על הסגנון המקורי של בעיה זו, שנלקח מהמדריך של ג'וליאן זגוזלביץ' שפורסם בקרקוב ב-1892 - הזלוטי הוא הזלוטי הריני, המטבע שהיה במחזור באימפריה האוסטרו-הונגרית עד תחילת המאה ה- XNUMX).
עכשיו שקול שתי בעיות עם ספר הלימוד העתיק ביותר במתמטיקה בפולנית, אב תומאש קלוס (1538). האם זו חטיבה או קופה? לפתור את זה כמו שתלמידי בית ספר במאה ה- XNUMX צריכים:
(תרגום מפולנית לפולנית: יש ליטר וארבעה סירים בחבית. סיר זה ארבעה ליטר. מישהו קנה 20 חביות יין ב-50 זלוטי למסחר. מכס ומס (בלו?) יהיו 8 זלוטי. כמה צריך למכור ליטר כדי להרוויח 8 zł?)
ספורט, פיזיקה, קונגרואנס
לפעמים בספורט צריך לחלק משהו באפס (יחס שערים). ובכן, השופטים איכשהו מתמודדים עם זה. עם זאת, באלגברה מופשטת הם על סדר היום. כמויות שאינן אפסשהריבוע שלו הוא אפס. אפשר אפילו להסביר בפשטות.
חשבו על פונקציה F שמשייכת נקודה (y, 0) לנקודה במישור (x, y). מה זה F2, כלומר ביצוע כפול של F? פונקציית אפס - לכל נקודה יש תמונה (0,0).
לבסוף, כמויות שאינן אפס שהריבוע שלהן הוא 0 הן לחם כמעט יומי לפיזיקאים, ומספרים מהצורה a + bε, כאשר ε ≠ 0, אבל ε2 = 0, קוראים מתמטיקאים מספרים כפולים. הם מתרחשים בניתוח מתמטי ובגיאומטריה דיפרנציאלית.
הרי יש משהו בחשבון שיש בו חלוקה באפס לפחות בשם. זה בא מ חוֹפְפוּת. תן Z לסמן את קבוצת המספרים השלמים. חלוקת קבוצת Z ב-p משמעה שאנו משווים כל מספר (מספר שלם) לכמה אחרים, כלומר לאלה שההפרש ביניהם מתחלק. לכן, כאשר יש לנו חמישה סוגי מספרים המקבילים למספרים 0, 1, 2, 3, 4 - השאריות האפשריות כאשר מחלקים ב-5. הנוסחה כתובה כך:
mod כאשר ההבדל הוא כפול.
עבור = 2, יש לנו רק שני מספרים: 0 ו-1. חלוקת מספרים שלמים לשתי מחלקות כאלה שווה ערך לחלוקה זוגית ואי-זוגית. בוא נחליף אותו עכשיו. ההפרש תמיד מתחלק ב-1 (כל מספר שלם מתחלק ב-1). האם אפשר לקחת =0? בוא ננסה: מתי ההפרש של שני מספרים הוא כפולה של אפס? רק כאשר שני המספרים הללו שווים. אז חלוקה של קבוצה של מספרים שלמים באפס הגיוני, אבל זה לא מעניין: שום דבר לא קורה. עם זאת, יש להדגיש כי אין מדובר בחלוקת מספרים במובן המוכר מבית הספר היסודי.
פעולות כאלה פשוט אסורות, כמו גם מתמטיקה ארוכה ורחבה.
אורז. 2. זיהוי מספרים באמצעות השוואה
(מצב 5 ומצב 2)
