מודלים פשוטים עם התנהגות מורכבת כלומר כאוס
המחשב הוא כלי המשמש יותר ויותר מדענים כדי לחשוף סודות שהוסתרו בקפידה על ידי הטבע. מודלים, יחד עם ניסויים ותיאוריה, הופכים להיות הדרך השלישית לחקור את העולם.
לפני שלוש שנים, באוניברסיטת שלזיה, התחלנו תוכנית לשילוב שיטות מחשב בחינוך. כתוצאה מכך נוצרו הרבה חומרים דידקטיים מרגשים במיוחד, המקלים ומעמיקים ללמוד נושאים רבים. פייתון נבחר ככלי הראשי, שיחד עם כוחן של ספריות מדעיות זמינות, הוא כנראה הפתרון הטוב ביותר ל"ניסויי מחשב" עם משוואות, תמונות או נתונים. אחד המימושים המעניינים ביותר של שולחן עבודה שלם הוא Sage [2]. מדובר באינטגרציה פתוחה של מערכת אלגברה ממוחשבת עם שפת Python, ומאפשרת גם להתחיל לשחק מיד באמצעות דפדפן אינטרנט ואחת מאפשרויות הגישה האפשריות דרך שירות ענן [3] או שרת מחשוב בודד בו האינטראקטיבית הגרסה של מאמר זה מבוססת על [4] .
כאוס באקולוגיה
בשנים הראשונות באוניברסיטת אוקספורד, למד המדען האוסטרלי רוברט מיי את ההיבטים התיאורטיים של הדינמיקה הדמוגרפית. הוא סיכם את עבודתו במאמר שהופיע בכתב העת Nature תחת הכותרת הפרובוקטיבית "מודלים מתמטיים פשוטים עם דינמיקה מורכבת מאוד" [1]. במהלך השנים, מאמר זה הפך לאחת היצירות המצוטטות ביותר באקולוגיה תיאורטית. מה גרם להתעניינות כזו בעבודה זו?
הבעיה הקלאסית של דינמיקת האוכלוסייה היא לחשב את האוכלוסייה העתידית של מין מסוים, בהתחשב במצבו הנוכחי. מבחינה מתמטית, מערכות אקולוגיות נחשבו לפשוטות ביותר שבהן חייו של דור אחד של האוכלוסייה נמשכים עונה אחת. דוגמה טובה היא אוכלוסייה של חרקים שעוברים מטמורפוזה מלאה בעונה אחת, כמו פרפרים. הזמן מחולק באופן טבעי לתקופות נפרדות2 התואמות את מחזורי החיים של האוכלוסייה. לפיכך, למשוואות המתארות מערכת אקולוגית כזו יש באופן טבעי את מה שנקרא זמן דיסקרטי, כלומר. t = 1,2,3…. רוברט מיי עסק בין היתר בדינמיקה כזו. בנימוקיו הוא פישט את המערכת האקולוגית למין בודד שאוכלוסייתו הייתה פונקציה ריבועית של אוכלוסיית השנה הקודמת. מאיפה הגיע הדגם הזה?
המשוואה הבדידה הפשוטה ביותר המתארת את האבולוציה של אוכלוסייה היא מודל ליניארי:
כאשר Ni הוא השפע בעונה ה-i, ו-Ni + 1 מתאר את האוכלוסייה בעונה הבאה. קל לראות שמשוואה כזו יכולה להוביל לשלושה תרחישים. כאשר a = 1, האבולוציה לא תשנה את גודל האוכלוסייה, ו<1 מוביל להכחדה, והמקרה של > 1 פירושו גידול אוכלוסיה בלתי מוגבל. זה יוביל לחוסר איזון בטבע. מכיוון שכל דבר בטבע מוגבל, הגיוני להתאים את המשוואה הזו כדי לקחת בחשבון את כמות המשאבים המוגבלת. תארו לעצמכם שמזיקים אוכלים דגנים, שכל שנה זהה לחלוטין. אם החרקים מועטים בהשוואה לכמות המזון שהם יכולים להתרבות, הם יכולים להתרבות במלוא עוצמת הרבייה, הנקבעת מתמטית על ידי הקבוע a > 1. עם זאת, ככל שמספר המזיקים יגדל, המזון יהיה דל וכושר הרבייה תקטן. במקרה קריטי, אפשר לדמיין שכל כך הרבה חרקים נולדים שהם אוכלים את כל התבואה לפני שהם מספיקים להתרבות, והאוכלוסייה מתה. מודל המביא בחשבון את ההשפעה הזו של גישה מוגבלת למזון הוצע לראשונה על ידי Verhulst בשנת 1838. במודל זה, קצב הגידול אינו קבוע, אלא תלוי במצב האוכלוסייה:
הקשר בין קצב הגידול a ל-Ni צריך להיות בעל התכונה הבאה: אם האוכלוסייה גדלה, קצב הגידול אמור לרדת מכיוון שהגישה למזון קשה. כמובן, ישנן פונקציות רבות עם מאפיין זה: אלו הן פונקציות מלמעלה למטה. ורהולסט הציע את הקשר הבא:
כאשר a>0 וקבוע K>0 מאפיינים משאבי מזון ונקראים יכולת הסביבה. כיצד משפיע שינוי ב-K על קצב גידול האוכלוסייה? אם K עולה, Ni/K יורד. בתורו, זה מוביל לעובדה ש-1-Ni/K גדל, מה שאומר שהוא גדל. המשמעות היא שקצב הגידול עולה והאוכלוסייה גדלה מהר יותר. אז בואו נשנה את המודל הקודם (1) על ידי הנחה שקצב הצמיחה משתנה כמו במשוואה (3). ואז נקבל את המשוואה
ניתן לכתוב משוואה זו כמשוואה רקורסיבית
כאשר xi = Ni / K ו-xi + 1 = Ni + 1 / K מציינים את האוכלוסיות המוחלפות בזמן i ובזמן i + 1. משוואה (5) נקראת המשוואה הלוגיסטית.
זה אולי נראה שעם שינוי כל כך קטן, המודל שלנו קל לניתוח. בוא נבדוק את זה. שקול את המשוואה (5) עבור הפרמטר a = 0.5 החל מהאוכלוסיה הראשונית x0 = 0.45. ניתן לקבל ערכי אוכלוסיה עוקבים באמצעות משוואה רקורסיבית (5):
x1= גרזן0(ראשון0)
x2= גרזן1(ראשון1)
x3= גרזן2(ראשון2)
כדי להקל על החישובים ב-(6), נוכל להשתמש בתוכנה הבאה (היא כתובה ב-Python וניתן להפעיל אותה, בין היתר, בפלטפורמת Sage. אנו ממליצים לקרוא את הספר http://icse.us.edu .pl/e-book . ), המחקה את המודל שלנו:
= 0.5 x = 0.45 עבור i בטווח (10): x \u1d a * x * (XNUMX-x) הדפס x
אנו מחשבים ערכים עוקבים של xi ושימו לב שהם נוטים לאפס. על ידי ניסוי עם הקוד לעיל, קל גם לראות שזה נכון ללא קשר לערך ההתחלתי של x0. זה אומר שהאוכלוסייה מתה כל הזמן.
בשלב השני של הניתוח, אנו מעלים את ערך הפרמטר a לכל ערך בטווח ae (1,3). מסתבר שאז הרצף xi מגיע לכמות מסוימת x * > 0. אם מפרשים זאת מנקודת מבט של אקולוגיה, ניתן לומר שגודל האוכלוסייה קבוע ברמה מסוימת, שאינה משתנה מעונה לעונה . ראוי לציין שהערך של x * אינו תלוי במצב ההתחלתי x0. זו השפעת החתירה של המערכת האקולוגית לייצוב – האוכלוסייה מתאימה את גודלה ליכולת להאכיל את עצמה. מבחינה מתמטית, אומרים שהמערכת נוטה לנקודה קבועה יציבה, כלומר. מספקים את השוויון x = f(x) (זה אומר שברגע הבא המצב זהה לרגע הקודם). עם Sage, אנו יכולים לדמיין את האבולוציה הזו בצורה גרפית על ידי תכנון האוכלוסייה לאורך זמן.
אפקט ייצוב כזה היה צפוי על ידי החוקרים, והמשוואה הלוגיסטית (5) לא הייתה מושכת תשומת לב רבה אלמלא ההפתעה. התברר כי עבור ערכים מסוימים של הפרמטר, המודל (5) מתנהג בצורה בלתי צפויה. ראשית, ישנם מצבים מחזוריים ורב-מחזוריים. שנית, עם כל צעד בזמן, האוכלוסייה משתנה בצורה לא אחידה, כמו תנועה אקראית. שלישית, ישנה רגישות רבה לתנאים התחלתיים: שני מצבים התחלתיים כמעט בלתי ניתנים להבחין מובילים לאבולוציה שונה לחלוטין של אוכלוסיה. כל התכונות הללו אופייניות להתנהגות הדומה לתנועה אקראית לחלוטין ונקראת כאוס דטרמיניסטי.
בואו לחקור את הנכס הזה!
ראשית, בואו נגדיר את הערך של הפרמטר a = 3.2 ונסתכל על האבולוציה. זה אולי נראה מפתיע שהפעם האוכלוסייה מגיעה לא לערך אחד, אלא לשניים, שמתרחשים ברציפות בכל עונה שנייה. אולם התברר שהבעיות לא הסתיימו בכך. עם a = 4, המערכת כבר לא ניתנת לחיזוי. הבה נתבונן באיור (2) או שניצור בעצמנו רצף של מספרים באמצעות מחשב. נראה שהתוצאות הן אקראיות לחלוטין ושונות למדי עבור אוכלוסיות מתחילות מעט שונות. עם זאת, הקורא הקשוב חייב להתנגד. כיצד יכולה מערכת המתוארת באמצעות משוואה דטרמיניסטית1, אפילו פשוטה מאוד, להתנהג בצורה בלתי צפויה? טוב אולי.
תכונה של מערכת זו היא הרגישות המדהימה שלה לתנאים התחלתיים. מספיק להתחיל עם שני מצבים ראשוניים הנבדלים זה מזה במיליון, ובצעדים בודדים נקבל ערכי אוכלוסייה שונים לחלוטין. בוא נבדוק במחשב:
a = 4.0
x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] עבור i בטווח (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) הדפס x, y
הנה מודל פשוט של אבולוציה דטרמיניסטית. אבל הדטרמיניזם הזה מטעה, זה רק דטרמיניזם מתמטי. מנקודת מבט מעשית, המערכת מתנהגת בצורה בלתי צפויה מכיוון שלעולם לא נוכל להגדיר את התנאים ההתחלתיים באופן מתמטי בדיוק. למעשה, הכל נקבע בדיוק מסוים: לכל מכשיר מדידה יש דיוק מסוים, וזה יכול לגרום לחוסר חיזוי מעשית במערכות דטרמיניסטיות בעלות תכונת כאוס. דוגמה לכך היא מודלים של חיזוי מזג אוויר, שתמיד מציגים תכונה של כאוס. זו הסיבה שתחזיות מזג האוויר לטווח ארוך כל כך גרועות.
הניתוח של מערכות כאוטיות הוא קשה ביותר. עם זאת, אנו יכולים לפתור הרבה מתעלומות הכאוס די בקלות בעזרת הדמיות ממוחשבות. הבה נצייר את דיאגרמת ההתפצלות כביכול, עליה אנו מניחים את ערכי הפרמטר a לאורך ציר האבססיס, ונקודות קבועות יציבות של המיפוי הלוגיסטי לאורך ציר הסמיכה. אנו מקבלים נקודות יציבות על ידי הדמיית מספר רב של מערכות בו-זמנית ושרטוט ערכים לאחר זמני דגימה רבים. כפי שאתה יכול לנחש, זה דורש הרבה חישובים. בואו ננסה "בזהירות" לעבד את הערכים הבאים:
ייבוא numpy בתור np Nx = 300 זה = 500 х = למשל רווח ליניארי (0,1, Nx) х = х + למשל ארוס ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = למשל Linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) עבור i בטווח (100): x=a*x*(1-x) pt = [a_, x_] עבור a_, x_ c zip(a.flatten(),x.flatten())] נקודה (pt, גודל = 1, גודל תאנים = (7,5))
אנחנו צריכים לקבל משהו דומה לדמות (3). איך לפרש את הציור הזה? לדוגמה, עם הערך של הפרמטר a = 3.3, יש לנו 2 נקודות קבועות יציבות (גודל האוכלוסייה זהה בכל עונה שנייה). עם זאת, לפרמטר a = 3.5 יש לנו 4 נקודות קבועות (בכל עונה רביעית יש לאוכלוסיה אותו מספר), ולפרמטר a = 3.56 יש לנו 8 נקודות קבועות (בכל עונה שמינית יש לאוכלוסיה אותו מספר). אבל עבור הפרמטר a≈3.57, יש לנו אינסוף נקודות קבועות (גודל האוכלוסייה אינו חוזר על עצמו ומשתנה בדרכים בלתי צפויות). עם זאת, בעזרת תוכנת מחשב, נוכל לשנות את היקף הפרמטר a ולחקור במו ידינו את המבנה הגיאומטרי האינסופי של דיאגרמה זו.
זה רק קצה הקרחון. אלפי מאמרים מדעיים נכתבו על המשוואה הזו, אבל היא עדיין מסתירה את סודותיה. בעזרת הדמיית מחשב, אתה יכול, אפילו בלי להזדקק למתמטיקה גבוהה יותר, לשחק את חלוץ עולם הדינמיקה הלא ליניארית. אנו מזמינים אתכם לקרוא את הגרסה המקוונת המכילה פרטים על רבים מהמאפיינים המעניינים של המשוואה הלוגיסטית ודרכים מעניינות להמחיש אותם.
1 חוק דטרמיניסטי הוא חוק שבו העתיד נקבע באופן ייחודי על ידי המצב ההתחלתי. הניגוד הוא החוק ההסתברותי. 2 במתמטיקה, "בדיד" פירושו קבלת ערכים מקבוצה מסוימת שניתן לספור. ההיפך הוא "רציף".
