מסע לעולם הלא אמיתי של המתמטיקה
את המאמר הזה כתבתי באחת הסביבות, לאחר הרצאה ותרגול במכללה למדעי המחשב. אני מגן על עצמי מפני ביקורת על תלמידי בית הספר הזה, הידע שלהם, היחס למדע ובעיקר, כישורי ההוראה שלהם. זה... אף אחד לא מלמד אותם.
למה אני כל כך מתגונן? מסיבה פשוטה – אני בגיל שבו, כנראה, העולם הסובב אותנו עדיין לא מובן. אולי אני מלמד אותם לרתום ולשחרר סוסים, ולא לנהוג במכונית? אולי אלמד אותם לכתוב בעט נוצה? למרות שיש לי דעה טובה יותר על אדם, אני מחשיב את עצמי "עוקב", אבל...
עד לאחרונה, בתיכון, דיברו על מספרים מרוכבים. וביום רביעי הזה חזרתי הביתה, עזבתי - כמעט אף אחד מהתלמידים עדיין לא למד מה זה ואיך להשתמש במספרים האלה. חלקם מסתכלים על כל המתמטיקה כמו אווז בדלת מצוירת. אבל גם הופתעתי באמת כשאמרו לי איך ללמוד. במילים פשוטות, כל שעה של הרצאה היא שעתיים של שיעורי בית: קריאת ספר לימוד, לימוד איך לפתור בעיות בנושא נתון וכו'. לאחר שהתכוננו בצורה זו, אנו מגיעים לתרגילים, שבהם אנו משפרים הכל... למרבה הצער, התלמידים, כנראה, חשבו שהישיבה בהרצאה - לרוב מבט מהחלון - כבר מבטיחה את כניסת הידע לראש.
תפסיק! מספיק מזה. אתאר את תשובתי לשאלה שקיבלתי במהלך שיעור עם עמיתים מהקרן הלאומית לילדים, מוסד התומך בילדים מוכשרים מכל הארץ. השאלה (או יותר נכון ההצעה) הייתה:
- האם תוכל לספר לנו משהו על מספרים לא אמיתיים?
"כמובן," עניתי.
מציאות המספרים
"חבר הוא אחר אני, ידידות היא היחס בין המספרים 220 ו-284", אמר פיתגורס. הנקודה כאן היא שסכום המחלקים של המספר 220 הוא 284, וסכום המחלקים של המספר 284 הוא 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
צירוף מקרים מעניין נוסף בין המספרים 220 ו-284 הוא זה: שבעה עשר המספרים הראשוניים הגבוהים ביותר הם 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ו-59.
הסכום שלהם הוא 2x220, וסכום הריבועים הוא 59x284.
ראשון. אין מושג של "מספר אמיתי". זה כמו שאחרי שקוראים מאמר על פילים, אתה שואל: "עכשיו נבקש לא-פילים". יש שלמים ולא שלמים, רציונליים ולא רציונליים, אבל אין לא אמיתיים. באופן ספציפי: מספרים שאינם אמיתיים אינם נקראים לא חוקיים. ישנם סוגים רבים של "מספרים" במתמטיקה, והם שונים זה מזה, כמו - אם לקחת השוואה זואולוגית - פיל ותולעת אדמה.
שנית, נבצע פעולות שאולי כבר ידעתם שאסורות: חילוץ השורשים הריבועיים של מספרים שליליים. ובכן, המתמטיקה תתגבר על מחסומים כאלה. האם זה הגיוני בכל זאת? במתמטיקה, כמו בכל מדע אחר, האם תיאוריה נכנסת לנצח למאגר הידע תלוי... ביישומה. אם זה חסר תועלת, אז זה נגמר לפח, ואז באיזה זבל של ההיסטוריה של הידע. בלי המספרים שאני מדבר עליהם בסוף המאמר הזה, אי אפשר לפתח מתמטיקה. אבל בואו נתחיל עם כמה דברים קטנים. מה הם מספרים אמיתיים, אתה יודע. הם ממלאים את קו המספרים בצפיפות וללא פערים. אתה גם יודע מה זה מספרים טבעיים: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - כולם לא ישתלבו זיכרון אפילו הגדול ביותר. יש להם גם שם יפה: טבעי. יש להם כל כך הרבה מאפיינים מעניינים. איך אתה אוהב את זה:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
"זה טבעי להתעניין במספרים הטבעיים," אמר קרל לינדנהולם, ולאופולד קרונקר (1823–1891) ניסח זאת בתמציתיות: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא עבודת האדם!" לשברים (המכונים מספרים רציונליים על ידי מתמטיקאים) יש גם תכונות מדהימות:
ובשוויון:
אתה יכול, החל מהצד השמאלי, לשפשף את הפלוסים ולהחליף אותם בסימני כפל - והשוויון יישאר נכון:
וכן הלאה.
כפי שאתה יודע, עבור שברים a/b, כאשר a ו-b הם מספרים שלמים, ו-b ≠ 0, הם אומרים מספר ראציונאלי. אבל רק בפולנית קוראים לעצמם כך. הם מדברים אנגלית, צרפתית, גרמנית ורוסית. מספר ראציונאלי. באנגלית: מספרים רציונליים. מספרים אי - רציונליים זה לא הגיוני, לא הגיוני. אנחנו גם מדברים פולנית על תיאוריות, רעיונות ומעשים לא רציונליים - זה טירוף, דמיוני, בלתי מוסבר. אומרים שנשים מפחדות מעכברים - זה לא כל כך לא הגיוני?
בימי קדם, למספרים הייתה נשמה. כל אחד התכוון למשהו, כל אחד סימל משהו, כל אחד שיקף חלקיק מההרמוניה ההיא של היקום, כלומר ביוונית, הקוסמוס. עצם המילה "קוסמוס" פירושה בדיוק "סדר, סדר". החשובים ביותר היו שש (המספר המושלם) ועשר, סכום המספרים העוקבים 1+2+3+4, המורכבים ממספרים אחרים, שהסמליות שלהם שרדה עד היום. אז פיתגורס לימד שמספרים הם ההתחלה והמקור של הכל, ורק הגילוי מספרים אי - רציונליים פנה את תנועת הפיתגורס לכיוון גיאומטריה. אנחנו מכירים את הנימוק הזה מבית הספר
√2 הוא מספר אי רציונלי
כי נניח שיש: ושלא ניתן לצמצם את השבר הזה. בפרט, גם p וגם q הם אי-זוגיים. בוא נריבוע: 2q2=p2. המספר p לא יכול להיות אי זוגי, שכן אז p2 יהיה גם, והצד השמאלי של השוויון הוא כפולה של 2. לפיכך, p הוא זוגי, כלומר, p = 2r, ומכאן p2= 4r2. נפחית את המשוואה 2q2= 4r2 עד 2. נקבל q2= 2r2 ואנו רואים שגם q חייב להיות זוגי, מה שהנחנו שלא כך. הסתירה המתקבלת משלימה את ההוכחה - לרוב ניתן למצוא נוסחה זו בכל ספר מתמטי. ההוכחה הנסיבתית הזו היא טריק מועדף על הסופיסטים.
הפיתגוראים לא יכלו להבין את העצום הזה. הכל צריך להיות מתואר במספרים, ולאלכסון של ריבוע, שכל אחד יכול לצייר במקל על החול, אין אורך, כלומר ניתן למדידה. "האמונה שלנו הייתה לשווא", נדמה שהפיתגוראים אומרים. איך זה? זה סוג של... לא הגיוני. האיחוד ניסה להציל את עצמו בשיטות עדתיות. כל מי שמעז לחשוף את קיומו מספרים אי - רציונליים, היה אמור להיענש במוות, וככל הנראה, המשפט הראשון בוצע על ידי המאסטר עצמו.
אבל "המחשבה עברה ללא פגע". תור הזהב הגיע. היוונים ניצחו את הפרסים (מרתון 490, בלוק 479). הדמוקרטיה התחזקה, מרכזים חדשים של מחשבה פילוסופית ובתי ספר חדשים קמו. הפיתגוראים עדיין נאבקו במספרים אי-רציונליים. היו שהטיפו: לא נבין את התעלומה הזו; אנחנו יכולים רק להרהר ולהתפעל מ-Uncharted. האחרונים היו פרגמטיים יותר ולא כיבדו את המסתורין. באותה תקופה הופיעו שני מבנים נפשיים שאפשרו להבין מספרים אי-רציונליים. העובדה שאנו מבינים אותם מספיק טוב היום שייכת לאודוקסוס (המאה החמישית לפני הספירה), ורק בסוף המאה ה-XNUMX נתן המתמטיקאי הגרמני ריצ'רד דדקינד לתורת יודוקסוס את הפיתוח הראוי בהתאם לדרישות של קפדנות. לוגיקה מתמטית.
מסה של דמויות או עינויים
האם אתה יכול לחיות בלי מספרים? גם אם מה יהיו החיים... נצטרך ללכת לחנות לקנות נעליים עם מקל, שמדדנו בעבר את אורך כף הרגל. "הייתי רוצה תפוחים, אה, הנה זה!" - היינו מראים למוכרים בשוק. "מה המרחק ממודלין לנובי דוור מזובייצקי"? "די קרוב!"
מספרים משמשים למדידה. בעזרתם אנו מבטאים גם מושגים רבים אחרים. לדוגמה, קנה המידה של המפה מראה עד כמה שטח המדינה ירד. סולם של שניים לאחד, או פשוט 2, מבטא את העובדה שמשהו הוכפל בגודלו. נניח מתמטית: כל הומוגניות מתאימה למספר - קנה המידה שלו.
משימה. הכנו עותק קסרוגרפי, הגדלנו את התמונה מספר פעמים. לאחר מכן הוגדל שוב השבר המוגדל פי פעמים. מהו סולם ההגדלה הכללי? תשובה: a × b כפול ב. צריך להכפיל את המאזניים האלה. המספר "מינוס אחד", -1, מתאים לדיוק אחד שמרוכז, כלומר מסובב 180 מעלות. איזה מספר מתאים לפנייה של 90 מעלות? אין מספר כזה. זה, זה... או יותר נכון, זה יהיה בקרוב. האם אתה מוכן לעינויים מוסריים? תאזרו אומץ והוציאו את השורש הריבועי של מינוס אחד. אני מקשיב ל? מה אתה לא יכול? אחרי הכל, אמרתי לך להיות אמיץ. תוציא את זה! היי, טוב, משוך, משך... אני אעזור... הנה: -1 עכשיו כשיש לנו את זה, בואו ננסה להשתמש בו... כמובן, עכשיו נוכל לחלץ את השורשים של כל המספרים השליליים, עבור דוגמא.:
√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1
"בלי קשר לעוגמת הנפש שזה כרוך בו." זה מה שכתב ג'ירולמו קרדנו בשנת 1539, בניסיון להתגבר על הקשיים הנפשיים הקשורים - כפי שנקרא עד מהרה - כמויות דמיוניות. הוא שקל את אלה...
...משימה. חלקו 10 לשני חלקים, שהמוצר שלהם הוא 40. אני זוכר שמהפרק הקודם הוא כתב משהו כזה: בהחלט בלתי אפשרי. עם זאת, בוא נעשה זאת: נחלק את 10 לשני חלקים שווים, כל אחד שווה ל-5. תכפיל אותם - התברר 25. מה-25 שהתקבלו, כעת נחסר 40, אם תרצה, ותקבל -15. עכשיו תסתכל: √-15 שנוסף וחסר מ-5 נותן לך את המכפלה של 40. אלו הם המספרים 5-√-15 ו-5 + √-15. אימות התוצאה בוצע על ידי קרדנו באופן הבא:
"ללא קשר לכאב הלב שזה כרוך, הכפילו 5 + √-15 ב-5-√-15. נקבל 25 - (-15), ששווה ל-25 + 15. אז המוצר הוא 40 .... זה ממש קשה".
ובכן, כמה זה: (1 + √-1) (1-√-1)? בואו נרבה. זכור כי √-1 × √-1 = -1. גדול. עכשיו משימה קשה יותר: מ-a + b√-1 עד ab√-1. מה קרה? בוודאי, כך: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
מה מעניין בזה? למשל, העובדה שאנו יכולים לחלק לגורמים ביטויים ש"לא הכרנו קודם". נוסחת הכפל המקוצר עבור2-b2 האם אתה זוכר את הנוסחה עבור2+b2 זה לא היה, כי זה לא יכול להיות. בתחום המספרים הממשיים, הפולינום2+b2 זה בלתי נמנע. נסמן את השורש הריבועי "שלנו" של "מינוס אחד" באות i.2= -1. זה מספר ראשוני "לא אמיתי". וזה מה שמתאר סיבוב של 90 מעלות של מטוס. למה? אחרי הכל,2= -1, ושילוב של סיבוב אחד של 90 מעלות ועוד סיבוב של 180 מעלות נותן סיבוב של 45 מעלות. איזה סוג של סיבוב מתואר? ברור סיבוב של XNUMX מעלות. למה מתכוון ה-i? זה קצת יותר מסובך:
(-אני)2 = -i × (-i) = +i2 = -1
אז -i מתאר גם סיבוב של 90 מעלות, בדיוק בכיוון ההפוך לסיבוב של i. איזה שמאל ומי ימין? עליך לקבוע תור. אנו מניחים שהמספר i מציין סיבוב בכיוון שמתמטיקאים מחשיבים כחיובי: נגד כיוון השעון. המספר -i מתאר סיבוב בכיוון שהמצביעים נעים.
אבל האם קיימים מספרים כמו i ו-i? האם! פשוט הבאנו אותם לחיים. אני מקשיב ל? שהם קיימים רק בראש שלנו? ובכן למה לצפות? גם כל שאר המספרים קיימים רק במוחנו. אנחנו צריכים לראות אם מספרי היילודים שלנו שורדים. ליתר דיוק, האם העיצוב הגיוני והאם הם יהיו שימושיים למשהו. אנא קבל את המילה שלי על כך שהכל בסדר ושהמספרים החדשים האלה באמת מועילים. מספרים כמו 3+i, 5-7i, באופן כללי יותר: a+bi נקראים מספרים מרוכבים. הראיתי לך איך אתה יכול להשיג אותם על ידי סיבוב המטוס. ניתן להזין אותם בדרכים שונות: כנקודות במישור, כפולינומים מסוימים, כסוג של מערכים מספריים... ובכל פעם הם זהים: המשוואה x2 +1=0 אין אלמנט... הוקוס פוקוס כבר שם!!!! בואו לשמוח ולשמוח!!!
סוף הסיור
זה מסיים את הסיור הראשון שלנו במדינה של מספרים מזויפים. מבין שאר המספרים הלא-ארציים, אזכיר גם את אלו שיש להם מספר אינסופי של ספרות מלפנים, ולא מאחור (הם נקראים 10-adic, לנו חשוב יותר p-adic, כאשר p הוא מספר ראשוני), שכן דוגמה X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
בוא נספור X בבקשה2. כי? מה אם נחשב את הריבוע של מספר ואחריו מספר אינסופי של ספרות? ובכן, בואו נעשה את אותו הדבר. אנחנו יודעים ש-x2 = H.
בוא נמצא עוד מספר כזה עם מספר אינסופי של ספרות מלפנים שעונה על המשוואה. רמז: הריבוע של מספר שמסתיים בשש מסתיים גם בשש. הריבוע של מספר שמסתיים ב-76 מסתיים גם הוא ב-76. הריבוע של מספר שמסתיים ב-376 מסתיים גם הוא ב-376. הריבוע של מספר שמסתיים ב-9376 מסתיים גם הוא ב-9376. הריבוע של מספר שמסתיים ב-XNUMX XNUMX ב... יש גם מספרים שהם כל כך קטנים, שבהיותם חיוביים, הם נשארים קטנים יותר מכל מספר חיובי אחר. הם כל כך קטנטנים שלפעמים מספיק לרבוע אותם כדי לקבל אפס. ישנם מספרים שאינם עומדים בתנאי a × b = b × a. יש גם אינסוף מספרים. כמה מספרים טבעיים יש? אין סוף הרבה? כן, אבל כמה? איך אפשר לבטא את זה כמספר? תשובה: הקטן מבין המספרים האינסופיים; הוא מסומן באות יפה: A ובתוספת מדד אפס אפס0 , אלף-אפס.
יש גם מספרים שאנחנו לא יודעים על קיומם... או שאתה יכול להאמין או לא להאמין כרצונך. ואם כבר מדברים על כך: אני מקווה שאתה עדיין אוהב את Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.
