חמש פעמים בעין
בסוף שנת 2020 נערכו מספר אירועים באוניברסיטאות ובבתי ספר, שנדחו מ...מרץ. אחד מהם היה "חגיגה" של יום הפאי. בהזדמנות זו, ב-8 בדצמבר, העברתי הרצאה מרחוק באוניברסיטת שלזיה, והמאמר הזה הוא סיכום ההרצאה. כל המסיבה התחילה ב-9.42, וההרצאה שלי מתוכננת ל-10.28. מאיפה מגיע דיוק כזה? זה פשוט: 3 פעמים פאי זה בערך 9,42, ו-π בחזקת 2 זה בערך 9,88, והשעה 9 עד בחזקת 88 היא 10 עד 28 ...
המנהג לכבד את המספר הזה, מבטא את היחס בין היקף מעגל לקוטרו ולפעמים נקרא קבוע ארכימדס (כמו גם בתרבויות דוברות גרמנית), מגיע מארה"ב (ראה גם: ). 3.14 במרץ "סגנון אמריקאי" בשעה 22:22, ומכאן הרעיון. המקבילה הפולנית יכולה להיות 7 ביולי מכיוון שהשבר 14/XNUMX מתקרב היטב ל-π, מה ש... ארכימדס כבר ידע. ובכן, מרץ XNUMX הוא הזמן הטוב ביותר לאירועי צד.
שלוש וארבע עשרה מאיות אלו הן אחד המסרים המתמטיים הבודדים שנשארו איתנו מבית הספר לכל החיים. כולם יודעים מה זה אומר"חמש פעמים בעין". היא כל כך נטועה בשפה שקשה לבטא אותה אחרת ובאותה חן. כששאלתי בבית התיקון כמה עשוי לעלות התיקון, המכונאי חשב על זה ואמר: "חמש פעמים בערך שמונה מאות זלוטי". החלטתי לנצל את המצב. "אתה מתכוון לקירוב גס?". המוסכניק כנראה חשב שלא שמעתי נכון, אז הוא חזר ואמר, "אני לא יודע בדיוק כמה, אבל חמש פעמים עין תהיה 800."
.
על מה זה? איות לפני מלחמת העולם השנייה השתמש ב"לא" ביחד, והשארתי אותו שם. אנחנו לא עוסקים כאן בשירה גרנדילית שלא לצורך, למרות שאני אוהב את הרעיון ש"ספינת זהב שואבת אושר". שאלו את התלמידים: מה משמעות המחשבה הזו? אבל הערך של הטקסט הזה נמצא במקום אחר. מספר האותיות במילים הבאות הן הספרות של סיומת pi. בוא נראה:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
בשנת 1596, מדען הולנדי ממוצא גרמני לודולף ואן סאולן חישב את הערך של pi עד 35 מקומות עשרוניים. ואז דמויות אלו נחקקו על קברו. היא הקדישה שיר למספר pi ולחתן פרס נובל שלנו, ויסלבה שימבורסקה. שימבורסקה הוקסמה מחוסר המחזוריות של מספר זה ומהעובדה שעם הסתברות 1 כל רצף של ספרות, כמו מספר הטלפון שלנו, יתרחש שם. בעוד שהתכונה הראשונה טבועה בכל מספר אי-רציונלי (שכדאי לנו לזכור מבית הספר), השניה היא עובדה מתמטית מעניינת שקשה להוכיח. אתה יכול אפילו למצוא אפליקציות שמציעות: תן לי את מספר הטלפון שלך ואני אגיד לך איפה הוא נמצא ב-pi.
איפה שיש עיגול, יש שינה. אם יש לנו אגם עגול, אז ההליכה סביבו ארוכה פי 1,57 משחייה. זה כמובן לא אומר שנשחה פי אחת וחצי עד פעמיים לאט ממה שנעבור. חלקתי את שיא העולם ב-100 מטר עם שיא העולם ב-100 מטר. מעניין לציין שאצל גברים ונשים התוצאה כמעט זהה והיא 4,9. אנו שוחים לאט פי 5 ממה שאנו רצים. חתירה שונה לגמרי - אבל אתגר מעניין. יש לו עלילה די ארוכה.
נמלט מהנבל הרודף, הטוב החתיך והאציל הפליג אל האגם. הנבל רץ לאורך החוף ומחכה שהיא תגרום לו לנחות. כמובן, הוא רץ מהר יותר מדוברי שורות, ואם הוא רץ חלק, דוברי מהיר יותר. אז הסיכוי היחיד של Evil הוא לקבל את Good מהחוף - זריקה מדויקת מאקדח היא לא אופציה, כי. לטוב יש מידע רב ערך שהרע רוצה לדעת.
טוב דבק באסטרטגיה הבאה. הוא שוחה על פני האגם, מתקרב בהדרגה לחוף, אבל תמיד מנסה להיות בצד הנגדי מהרשע, שרץ באקראי שמאלה, ואז ימינה. זה מוצג באיור. תן לעמדת ההתחלה של Evil להיות Z1, ודוברה הוא אמצע האגם. כשזלי עוברת ל-Z1, דוברו יפליג לד'.1כאשר Bad נמצא ב-Z2, טוב על D2. הוא יזרום בזיגזג, אך בהתאם לכלל: רחוק ככל האפשר מ-Z. אולם, ככל שהוא מתרחק ממרכז האגם, טוב חייב לנוע במעגלים גדולים יותר ויותר, ובשלב מסוים הוא לא יכול לדבוק בעקרון "להיות בצד השני של הרוע". אחר כך חתר בכל כוחו אל החוף, בתקווה שהרשע לא יעקוף את האגם. האם גוד יצליח?
התשובה תלויה כמה מהר טוב יכול לחתור ביחס לערך הרגליים של באד. נניח שהאיש הרע רץ במהירות של פי שניים מהמהירות של האדם הטוב על האגם. לכן, למעגל הגדול ביותר, שעליו יכול טוב לחתור כדי להתנגד לרוע, יש רדיוס הקטן פי אחת מרדיוס של אגם. אז, בציור שיש לנו. בנקודה W, סוג שלנו מתחיל לחתור לכיוון החוף. זה חייב ללכת
עם מהירות
הוא צריך זמן.
רשע רודף אחרי כל רגליו הטובות ביותר. עליו להשלים חצי מהמעגל, שייקח לו שניות או דקות, תלוי ביחידות שנבחרו. אם זה יותר מסוף טוב:
הטוב ילך. חשבונות פשוטים מראים מה זה צריך להיות. אם האיש הרע רץ מהר יותר מפי 4,14 מהאדם הטוב, זה לא נגמר טוב. וגם כאן המספר pi שלנו מתערב.
מה שעגול זה יפה. בואו נסתכל על התמונה של שלוש צלחות דקורטיביות - יש לי אותן אחרי ההורים שלי. מהו שטח המשולש העקום ביניהם? זוהי משימה פשוטה; התשובה נמצאת באותה תמונה. אנחנו לא מתפלאים שזה מופיע בנוסחה - הרי איפה שיש עגלגלות יש פאי.
השתמשתי במילה אולי לא מוכרת:. זה השם של המספר pi בתרבות דוברת הגרמנית, וכל זה בזכות ההולנדים (למעשה גרמני שחי בהולנד - הלאום לא היה חשוב באותה תקופה), לודולף מסאולן... בשנת 1596 גרם. הוא חישב 35 ספרות של ההתרחבות שלו לעשרוני. שיא זה החזיק עד 1853, אז וויליאם רתרפורד מנה 440 מושבים. בעל השיא לחישובים ידניים הוא (כנראה לנצח) וויליאם שאנקסשאחרי שנים רבות של עבודה פרסם (ב-1873) הרחבה ל-702 ספרות. רק ב-1946, 180 הספרות האחרונות נמצאו כשגויות, אבל זה נשאר כך. 527 נכון. היה מעניין למצוא את הבאג עצמו. זמן קצר לאחר פרסום התוצאה של שאנקס, הם חשדו ש"משהו לא בסדר" - היו כמה שביעיות באופן מחשיד בפיתוח. ההשערה שטרם הוכחה (דצמבר 2020) קובעת שכל המספרים צריכים להופיע באותה תדירות. זה גרם ל-D.T. Ferguson לשנות את החישובים של שאנקס ולמצוא את השגיאה "של הלומד"!
מאוחר יותר, מחשבונים ומחשבים עזרו לאנשים. מחזיק השיא הנוכחי (דצמבר 2020) הוא טימותי מוליקן (50 טריליון מקומות עשרוניים). החישובים ארכו ... 303 ימים. בואו נשחק: כמה מקום המספר הזה ייקח, מודפס בספר רגיל. עד לאחרונה, ה"צד" המודפס של הטקסט היה 1800 תווים (30 שורות על 60 שורות). בוא נצמצם את מספר התווים ושולי העמודים, נדחס 5000 תווים בעמוד ונדפיס 50 עמודים ספרים. אז XNUMX טריליון דמויות יקחו עשרה מיליון ספרים. לא נורא, נכון?
השאלה היא מה הטעם במאבק כזה? מנקודת מבט כלכלית גרידא, מדוע משלם המסים צריך לשלם עבור "בידור" כזה של מתמטיקאים? התשובה לא קשה. ראשון, מסאולן המציאו ריקים לחישובים, אז שימושי לחישובים לוגריתמיים. אם היו אומרים לו: בבקשה, בנה ריקים, הוא היה עונה: למה? פקודה דומה:. כידוע, גילוי זה לא היה מקרי לחלוטין, אך בכל זאת תוצר לוואי של מחקר מסוג אחר.
שנית, בואו נקרא את מה שהוא כותב טימותי מוליקן. הנה רפרודוקציה של תחילת עבודתו. פרופסור מוליקן עוסק באבטחת סייבר, ו-pi הוא תחביב כל כך קטן שהוא בדיוק בדק את מערכת אבטחת הסייבר החדשה שלו.
וזה 3,14159 בהנדסה זה די והותר, זה עניין אחר. בואו נעשה חישוב פשוט. צדק נמצא במרחק של 4,774 ט' מהשמש (טרמטר = 1012 מטר). כדי לחשב את ההיקף של מעגל כזה עם רדיוס כזה בדיוק אבסורדי של 1 מילימטר, זה יהיה מספיק לקחת π = 3,1415926535897932.
התמונה הבאה מציגה רבע עיגול של לבני לגו. השתמשתי ב-1774 רפידות וזה היה בערך 3,08 פי. לא הכי טוב, אבל למה לצפות? מעגל לא יכול להיות מורכב מריבועים.
בְּדִיוּק. המספר pi כידוע הוא ריבוע עיגול - בעיה מתמטית שחיכתה לפתרון שלה יותר מ-2000 שנה - עוד מימי יוון. האם אתה יכול להשתמש במצפן ובמישור כדי לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח המעגל הנתון?
המונח "ריבוע מעגל" נכנס לשפה המדוברת כסמל למשהו בלתי אפשרי. אני לוחץ על המקש כדי לשאול, האם זה סוג של ניסיון למלא את תעלת העוינות שמפרידה בין אזרחי המדינה היפה שלנו? אבל אני כבר נמנע מהנושא הזה, כי אני כנראה מרגיש רק במתמטיקה.
ושוב אותו דבר - הפתרון לבעיית ריבוע המעגל לא הופיע בצורה כזו שמחבר הפתרון, צ'רלס לינדמן, בשנת 1882 הוא הוקם ולבסוף הצליח. במידה מסוימת כן, אבל זה היה תוצאה של התקפה מחזית רחבה. מתמטיקאים למדו שיש סוגים שונים של מספרים. לא רק מספרים שלמים, רציונלי (כלומר שברים) ואי רציונלי. אי מדידה יכולה להיות גם טובה יותר או גרועה יותר. אולי נזכור מבית הספר שהמספר האי-רציונלי הוא √2 - מספר המבטא את היחס בין אורך האלכסון של ריבוע לאורך הצלע שלו. כמו כל מספר אי רציונלי, יש לו סיומת בלתי מוגבלת. הרשו לי להזכיר לכם שהתרחבות תקופתית היא תכונה של מספרים רציונליים, כלומר. מספרים שלמים פרטיים:
כאן חוזר רצף המספרים 142857 ללא הגבלת זמן. עבור √2 זה לא יקרה - זה חלק מחוסר ההיגיון. אבל אתה יכול:
(שבריר נמשך לנצח). אנו רואים כאן דפוס, אבל מסוג אחר. פאי אפילו לא כל כך נפוץ. לא ניתן להשיגו על ידי פתרון משוואה אלגברית - כלומר כזו שאין בה לא שורש ריבועי, לא לוגריתם ולא פונקציות טריגונומטריות. זה כבר מראה שזה לא ניתן לבנייה - ציור עיגולים מוביל לפונקציות ריבועיות, וקווים - קווים ישרים - למשוואות מהמעלה הראשונה.
אולי סטיתי מהעלילה המרכזית. רק התפתחות המתמטיקה כולה אפשרה לחזור אל המקורות - למתמטיקה היפה העתיקה של ההוגים שיצרו עבורנו את תרבות החשיבה האירופית, שכיום מפוקפקת כל כך אצל חלקם.
מבין הדפוסים המייצגים הרבים, בחרתי בשניים. את הראשון שבהם אנו מקשרים עם שם המשפחה גוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716).
אבל הוא היה מוכר (דגם, לא לייבניץ) לחוקר ההינדי מימי הביניים Madhava של Sangamagram (1350-1425). העברת המידע באותה תקופה לא הייתה גדולה - חיבורי האינטרנט היו לעתים קרובות בעייתיים, ולא היו סוללות לטלפונים ניידים (כי אלקטרוניקה עדיין לא הומצאה!). הנוסחה יפה, אבל חסרת תועלת לחישובים. ממאה מרכיבים מתקבל "רק" 3,15159.
הוא קצת יותר טוב הנוסחה של Viète (זה ממשוואות ריבועיות) והנוסחה שלו קלה לתכנות כי האיבר הבא במכפלה הוא השורש הריבועי של הקודם פלוס שניים.
אנחנו יודעים שהמעגל הוא עגול. אפשר לומר שזהו סבב של 100 אחוז. המתמטיקאי ישאל: האם משהו יכול להיות לא עגול של 1 אחוז? ככל הנראה מדובר באוקסימורון, ביטוי המכיל סתירה נסתרת, כמו למשל קרח חם. אבל בואו ננסה למדוד עד כמה הצורות יכולות להיות עגולות. מסתבר שמידה טובה ניתנת בנוסחה הבאה, שבה S הוא השטח ו-L הוא היקף הדמות. בואו נגלה שהמעגל באמת עגול, שהסיגמא היא 6. שטח המעגל הוא ההיקף. נכניס ... ונראה מה נכון. עד כמה הריבוע עגול? החישובים פשוטים לא פחות, אני אפילו לא אתן אותם. קח משושה רגיל רשום במעגל עם רדיוס. ההיקף הוא ללא ספק XNUMX.
מוֹט
מה לגבי משושה רגיל? היקפו 6 ושטחו
אז יש לנו
שזה בערך שווה ל-0,952. המשושה הוא יותר מ-95% "עגול".
תוצאה מעניינת מתקבלת כאשר מחשבים את העגלגלות של אצטדיון ספורט. על פי חוקי IAAF, ישרים ועיקולים חייבים להיות באורך 40 מטר, אם כי מותרות סטיות. אני זוכר שאצטדיון ביזלט באוסלו היה צר וארוך. אני כותב "היה" כי אפילו רצתי עליו (לחובבן!), אבל לפני יותר מ- XNUMX שנים. בואו נסתכל:
אם לקשת יש רדיוס של 100 מטר, הרדיוס של אותה קשת הוא מטרים. שטח המדשאה הוא מ"ר, והשטח שמחוץ לו (שם יש קרשי קפיצה) מסתכם במ"ר. בואו נחבר את זה לנוסחה:
אז האם לעגלגלות של אצטדיון ספורט יש קשר למשולש שווה צלעות? מכיוון שגובהו של משולש שווה צלעות הוא אותו מספר פעמים מהצלע. זה צירוף מקרים אקראי של מספרים, אבל זה נחמד. אני אוהב את זה. והקוראים?
טוב, זה טוב שהוא עגול, למרות שחלקם עשויים להתנגד כי הנגיף שמשפיע על כולנו הוא עגול. לפחות ככה הם מציירים את זה.
