צופנים ומרגלים

בפינת המתמטיקה של היום, אני הולך להסתכל על נושא שדיברתי עליו במחנה המדע השנתי לילדים של הקרן הלאומית לילדים. הקרן מחפשת ילדים ונוער בעלי תחומי עניין מדעיים. אתה לא חייב להיות מוכשר במיוחד, אבל אתה צריך להיות בעל "רצף מדעי". אין צורך בציונים טובים מאוד בבית הספר. נסה את זה, אולי תאהב את זה. אם אתה תלמיד בית ספר יסודי בכיר או תיכון, הגש בקשה. בדרך כלל ההורים או בית הספר עושים את הדיווחים, אך לא תמיד זה כך. מצא את אתר האינטרנט של הקרן וגלה.

בבית הספר מדברים יותר ויותר על "קידוד", כשהכוונה היא לפעילות שכונתה בעבר "תכנות". זהו הליך נפוץ למחנכים עיוניים. הם חופרים שיטות ישנות, נותנים להם שם חדש, ו"התקדמות" נוצרת מעצמה. ישנם מספר תחומים שבהם מתרחשת תופעה מחזורית כזו.

אפשר להסיק שאני ממעיט בערכו בדידקטיקה. לא. בהתפתחות הציוויליזציה, אנו חוזרים לפעמים למה שהיה, היה נטוש וכעת זוכה לתחייה. אבל הפינה שלנו היא מתמטית, לא פילוסופית.

השתייכות לקהילה מסוימת פירושה גם "סמלים משותפים", קריאות נפוצות, אמרות ומשלים. מי שלמד בצורה מושלמת את השפה הפולנית "יש סבך גדול בשצ'בז'שין, חיפושית מזמזמת בקנים" ייחשף מיד כמרגל של מדינה זרה אם לא יענה על השאלה מה עושה הנקר. ברור שהוא נחנק!

זו לא רק בדיחה. בדצמבר 1944 פתחו הגרמנים במתקפה האחרונה שלהם בארדנים במחיר גבוה. הם גייסו חיילים שדיברו אנגלית שוטפת כדי לשבש את תנועתם של כוחות בעלות הברית, למשל על ידי הובלתם לכיוון הלא נכון בצומת דרכים. לאחר רגע של הפתעה החלו האמריקאים לשאול את החיילים שאלות חשודות, שהתשובות עליהן יהיו ברורות לאדם מטקסס, נברסקה או ג'ורג'יה ובלתי נתפסות למי שלא גדל שם. אי ידיעת המציאות הובילה ישירות להוצאה להורג.

עד לנקודה. אני ממליץ לקוראים על ספרם של לוקאש בדובסקי וזסלב אדמשק "מעבדה במגירת שולחן - מתמטיקה". זהו ספר נפלא שמראה בצורה מבריקה שמתמטיקה באמת שימושית למשהו וש"ניסוי מתמטי" אינו מילים ריקות. הוא כולל, בין היתר, את הבנייה המתוארת של "חידת הקרטון" - מכשיר שייקח לנו רק חמש עשרה דקות ליצור ועובד כמו מכונת צפנה רצינית. הרעיון עצמו היה כל כך ידוע, המחברים שהוזכרו הצליחו להצליח בו, ואני אשנה אותו מעט ואעטוף אותו בבגדים מתמטיים יותר.

מסורים

באחד הרחובות של כפר הדאצ'ה שלי בפרברי ורשה, המדרכה פורקה לאחרונה מ"טרלינקה" - לוחות ריצוף משושה. הנסיעה הייתה לא נוחה, אבל נשמתו של המתמטיקאי שמחה. כיסוי המטוס במצולעים רגילים (כלומר רגילים) אינו קל. זה יכול להיות רק משולשים, ריבועים ומשושים רגילים.

אולי התבדחתי קצת עם השמחה הרוחנית הזו, אבל המשושה הוא דמות יפה. ממנו אתה יכול ליצור מכשיר הצפנה מוצלח למדי. גיאומטריה תעזור. למשושה יש סימטריה סיבובית - הוא חופף את עצמו כשהוא מסובב בכפולה של 60 מעלות. השדה המסומן, למשל, באות A בצד שמאל למעלה תאנה. 1 לאחר סיבוב דרך זווית זו, הוא ייפול גם לתיבה A - וכך גם עם אותיות אחרות. אז בואו נגזור שישה ריבועים מהרשת, כל אחד עם אות אחרת. שמנו את הרשת שהתקבלה בדרך זו על דף נייר. בששת השדות החופשיים, הזינו שש אותיות מהטקסט שאנו רוצים להצפין. בואו נסובב את הסדין 60 מעלות. שישה שדות חדשים יופיעו - הזינו את שש האותיות הבאות של ההודעה שלנו.

אורז. 1. טרילינקים של חדוות המתמטיקה.

מימין תאנה. 1 יש לנו טקסט מקודד באופן הזה: "יש קטר קיטור ענק כבד בתחנה."

עכשיו קצת מתמטיקה בבית הספר תועיל. בכמה דרכים ניתן לסדר שני מספרים זה ביחס לזה?

איזו שאלה טיפשית? לשניים: או אחד מלפנים או השני.

בסדר גמור. ושלושה מספרים?

זה גם לא קשה לרשום את כל ההגדרות:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

ובכן, זה לארבעה! עדיין ניתן לאיית את זה בצורה ברורה. נחשו את כלל הסדר ששמתי:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

כאשר הספרות הן חמש, נקבל 120 הגדרות אפשריות. בואו נתקשר אליהם תמורות. מספר התמורות האפשריות של n מספרים הוא המכפלה 1 2 3 ... n, הנקרא חזק ומסומן בסימן קריאה: 3!=6, 4!=24, 5!=120. למספר הבא 6 יש לנו 6!=720. נשתמש בזה כדי להפוך את מגן הצופן המשושה שלנו למורכב יותר.

אנו בוחרים בתמורה של מספרים מ-0 עד 5, למשל 351042. לדיסק הערבול המשושה שלנו יש מקף בשדה האמצעי - כך שניתן לשים אותו "במצב אפס" - מקף למעלה, כמו באיור. 1. אנחנו שמים את הדיסק בצורה כזו על דף נייר שעליו עלינו לכתוב את הדוח שלנו, אבל אנחנו לא כותבים אותו מיד, אלא הופכים אותו שלוש פעמים ב-60 מעלות (כלומר 180 מעלות) ומכניסים שש אותיות ב- השדות הריקים. אנו חוזרים לעמדת ההתחלה. אנחנו מסובבים את החוגה חמש פעמים על 60 מעלות, כלומר על ידי חמש "שיניים" של החוגה שלנו. אנחנו מדפיסים. מיקום הסולם הבא הוא המיקום המסובב 60 מעלות סביב האפס. המיקום הרביעי הוא 0 מעלות, זוהי עמדת ההתחלה.

אתה מבין מה קרה? יש לנו הזדמנות נוספת - לסבך את ה"מכונה" שלנו ביותר משבע מאות פעמים! אז, יש לנו שתי עמדות עצמאיות של ה"אוטומט" - בחירת הרשת ובחירת התמורה. ניתן לבחור את הרשת ב-66 = 46656 דרכים, תמורה 720. זה נותן 33592320 אפשרויות. מעל 33 מיליון צפנים! כמעט קצת פחות, כי חלק מהרשתות לא ניתן לגזור מנייר.

בחלק התחתון תאנה. 1 יש לנו הודעה מקודדת כך: "אני שולח לך ארבע דיוויזיות צניחה." קל להבין שאסור לתת לאויב לדעת על כך. אבל האם הוא יבין משהו מזה:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

יאייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייייי

אפילו עם חתימה 351042?

אנחנו בונים את אניגמה, מכונת צופן גרמנית

אורז. 2. דוגמה להגדרה הראשונית של מכונת ההצפנה שלנו.

תמורות (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

כפי שכבר ציינתי, אני חייב את הרעיון של יצירת מכונת קרטון כזו לספר "מעבדה במגירה - מתמטיקה". ה"בנייה" שלי שונה במקצת מזו שניתנו על ידי מחבריה.

למכונת ההצפנה ששימשה את הגרמנים במהלך המלחמה היה עיקרון פשוט בצורה גאונית, דומה במקצת לזה שראינו עם צופן המשושה. כל פעם אותו דבר: לשבור הקצאה קשה של מכתב למכתב אחר. זה חייב להיות ניתן להחלפה. איך לעשות את זה כדי לקבל שליטה עליו?

בוא נבחר לא כל תמורה, אלא כזו שיש לה מחזורים באורך 2. במילים פשוטות, משהו כמו ה"גדריפולוק" שתואר כאן לפני כמה חודשים, אבל מכסה את כל אותיות האלפבית. בואו נסכים על 24 אותיות - ללא ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. כמה תמורות כאלה? זו משימה לבוגרי תיכון (הם אמורים להיות מסוגלים לפתור אותה מיד). כמה? הרבה? כמה אלפים? כן:

1912098225024001185793365052108800000000 (בואו לא ננסה אפילו לקרוא את המספר הזה). יש כל כך הרבה אפשרויות להגדיר את מיקום "אפס". וזה יכול להיות קשה.

המכונה שלנו מורכבת משני דיסקים עגולים. על אחד מהם, שעדיין עומד, כתובים מכתבים. זה קצת כמו החוגה של טלפון ישן, שבו חייגת מספר על ידי סיבוב החוגה עד הסוף. רוטרי הוא השני עם ערכת צבעים. הדרך הקלה ביותר היא לשים אותם על פקק רגיל באמצעות סיכה. במקום פקק אפשר להשתמש בקרש דק או בקרטון עבה. לוקאש בדובסקי וזסלאב אדמאשק ממליצים להניח את שני הדיסקים בקופסת תקליטורים.

תאר לעצמך שאנחנו רוצים לקודד את המילה ARMATY (אורז. 2 ו-3). הגדר את המכשיר למצב אפס (חץ למעלה). האות A מתאימה ל-F. סובב את המעגל הפנימי אות אחת ימינה. יש לנו את האות R לקודד, כעת היא מתאימה ל-A. לאחר הסיבוב הבא, אנו רואים שהאות M מתאימה ל-U. הסיבוב הבא (דיאגרמה רביעית) נותן את ההתאמה A - P. בחוגה החמישית יש לנו T. - א. לבסוף (מעגל שישי) Y – Y האויב כנראה לא ינחש שה-CFCFA שלנו יהיו מסוכנים עבורו. ואיך "שלנו" יקרא את המשלוח? חייבת להיות להם אותה מכונה, אותה "מתוכנת", כלומר עם אותה תמורה. הצופן מתחיל במיקום אפס. אז הערך של F הוא A. סובב את החוגה עם כיוון השעון. האות A משויכת כעת לר'. הוא מסובב את החוגה ימינה ומתחת לאות U מוצא M וכו'. פקיד הצפנה רץ אל הגנרל: "גנרל, אני מדווח, הרובים באים!"

אורז. 3. עקרון הפעולה של הנייר שלנו אניגמה.

אורז. 3. עקרון הפעולה של הנייר שלנו אניגמה.

האפשרויות של אניגמה פרימיטיבית כזו הן מדהימות. אנחנו יכולים לבחור תמורות פלט אחרות. אנחנו יכולים - ויש כאן אפילו יותר הזדמנויות - לא על ידי "סריף" אחד באופן קבוע, אלא בסדר מסוים, משתנה מדי יום, בדומה למשושה (לדוגמה, קודם שלוש אותיות, ואז שבע, ואז שמונה, ארבע ... .. וכו'...).

איך אפשר לנחש?! ובכל זאת למתמטיקאים פולנים (מריאן ריבסקי, הנריק זיגלסקי, יז'י רוזיצקי) קרה. המידע שהושג כך לא יסולא בפז. בעבר הייתה להם תרומה חשובה לא פחות להיסטוריה של ההגנה שלנו. ואצלב סרפינסקי i סטניסלב מזורקביץ'שהפר את הקוד של החיילים הרוסיים ב-1920. הכבל שיירט נתן לפילסודסקי את ההזדמנות לבצע את התמרון המפורסם מנהר ה-Vepz.

אני זוכר את וסלב סיירפינסקי (1882-1969). הוא נראה כמו מתמטיקאי שהעולם החיצון לא היה קיים עבורו. הוא לא יכול היה לדבר על השתתפותו בניצחון ב-1920 הן מסיבות צבאיות והן... מסיבות פוליטיות (שלטונות הרפובליקה העממית הפולנית לא אהבו את אלה שהגנו עלינו מפני ברית המועצות).

אורז. 4. פרמוטציה (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

אורז. 5. קישוט יפה, אבל לא מתאים להצפנה. באופן קבוע מדי.

משימה 1. Na תאנה. 4 יש לך תמורה נוספת ליצור אניגמה. העתק את הציור לקסרוגרף. בנו מכונית, קודדו את השם הפרטי והמשפחה שלכם. CWONUE JTRYGT שלי. אם אתה צריך לשמור את ההערות שלך פרטיות, השתמש ב-Cardboard Enigma.

משימה 2. הצפין את שמך ושם משפחתך של אחת ה"מכוניות" שראית, אבל (שימו לב!) עם סיבוך נוסף: אנחנו לא הופכים חריץ אחד ימינה, אלא לפי הסכמה {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - כלומר תחילה באחד, אחר כך בשתיים, אחר כך בשלוש, אחר כך ב-2, ואז שוב ב-1, ואז ב-2 וכו', כזה "wavelet" . ודא שהשם הפרטי והמשפחה שלי מוצפנים בתור CZTTAK SDBITH. עכשיו אתה מבין כמה עוצמתית הייתה מכונת האניגמה?

פתרון בעיות לבוגרי תיכון. כמה אפשרויות תצורה עבור Enigma (בגרסה זו, כמתואר במאמר)? יש לנו 24 אותיות. אנו בוחרים את צמד האותיות הראשון - ניתן לעשות זאת על

דרכים. ניתן לבחור בזוג הבא

דרכים, יותר

וכו ' לאחר החישובים המתאימים (יש להכפיל את כל המספרים), נקבל

151476660579404160000

ואז חלק את המספר הזה ב-12! (12 פקטוריאליים), כי ניתן לקבל את אותם זוגות בסדר שונה. אז בסופו של דבר נקבל "סה"כ

316234143225,

זה קצת יותר מ-300 מיליארד, מה שלא נראה כמו מספר גדול להפליא עבור מחשבי העל של ימינו. עם זאת, אם לוקחים בחשבון את הסדר האקראי של התמורות עצמן, מספר זה גדל באופן משמעותי. אנחנו יכולים לחשוב גם על סוגים אחרים של תמורות.

ראה גם: