מאמר על כלום

בילדותי הוקסמתי מהסיפור, שכנראה מוכר לקוראים רבים, על "מרק על מסמר". סבתי (מאה XNUMX ללידה) אמרה לי את זה בגרסה "הקוזאק בא וביקש מים, כי יש לו מסמר והוא יבשל עליה מרק." המארחת הסקרנית נתנה לו סיר מים... ואנחנו יודעים מה קרה אחר כך: "המרק צריך להיות מלוח, דייטי, סבתא, מלח", ואז הוא שטף את הבשר "כדי לשפר את הטעם" וכו'. בסוף הוא זרק את המסמר ה"מבושל".

אז המאמר הזה היה אמור להיות על ריקנות החלל - וזה על נחיתה של מנגנון אירופאי על השביט 67P / Churyumov-Gerasimenko ב-12 בנובמבר 2014. אבל תוך כדי הכתיבה, נכנעתי להרגל רב שנים, אני עדיין מתמטיקאי. איך זה עם כמוс ריק במתמטיקה?

איך שום דבר לא קיים?

אי אפשר לומר ששום דבר לא קיים. הוא קיים לפחות כמושג פילוסופי, מתמטי, דתי ודיבורי לחלוטין. אפס הוא מספר רגיל, אפס מעלות במדחום הוא גם טמפרטורה, ואיזון אפס בבנק הוא אירוע לא נעים אך שכיח. שימו לב שאין שנת אפס בכרונולוגיה, וזאת משום שאפס הוכנס למתמטיקה רק בימי הביניים המאוחרים, מאוחר יותר מהכרונולוגיה שהוצעה על ידי הנזיר דיוניסיוס (מאה XNUMX).

באופן מוזר, באמת יכולנו להסתדר בלי האפס הזה, ולכן, בלי מספרים שליליים. באחד מספרי הלימוד בלוגיקה, מצאתי תרגיל: צייר או אמור איך אתה מדמיין את היעדר דגים. מדהים, לא? כל אחד יכול לצייר דג, אבל לא אחד?

עכשיו בקצרה קורס מתמטיקה בסיסי. הענקת הרשאת הקיום לקבוצה הריקה המסומנת בעיגול מוצלב ∅ היא הליך הכרחי בדומה להוספת אפס לקבוצת המספרים. הסט הריק הוא הסט היחיד שאינו מכיל אלמנטים כלשהם. אוספים כאלה:

אבל אין שני סטים ריקים שונים. הסט הריק כלול בכל קבוצה אחרת:

ואכן, כללי הלוגיקה המתמטית אומרים שקבוצה א' מוכלת בקבוצה ב' אם ורק אם המשפט:

זה כרוך

במקרה של הקבוצה הריקה ∅, ההצעה תמיד שקרית, ולפיכך, על פי חוקי הלוגיקה, ההשלכה היא בדרך כלל נכונה. הכל נובע משקר ("כאן אגדל קקטוס אם תעבור לכיתה הבאה..."). לכן, מכיוון שהסט הריק כלול בכל אחד מהאחרים, אז אם הם היו שניים שונים, כל אחד מהם היה כלול בשני. עם זאת, אם שתי קבוצות מוכלות זו בזו, הן שוות. זו הסיבה: יש רק סט אחד ריק!

ההנחה בדבר קיומו של קבוצה ריקה אינה סותרת שום חוקי מתמטיקה, אז למה לא להחיות אותה? העיקרון הפילוסופי שנקראסכין הגילוח של אוקאם» הוראה להחריג מושגים מיותרים, אבל בדיוק כמו שצריך הרעיון של קבוצה ריקה שימושי מאוד במתמטיקה. שימו לב שלקבוצה הריקה יש מימד של -1 (מינוס אחד) - אלמנטים אפס מימדיים הם נקודות והמערכות הדלילות שלהם, אלמנטים חד מימדיים הם קווים, ודיברנו על אלמנטים מתמטיים מורכבים מאוד עם ממד פרקטלי בפרק על פרקטלים .

מעניין שאת כל הבניין של המתמטיקה: מספרים, מספרים, פונקציות, אופרטורים, אינטגרלים, דיפרנציאלים, משוואות... אפשר לגזור ממושג אחד – קבוצה ריקה! מספיק להניח שיש קבוצה ריקה, ניתן לשלב את האלמנטים החדשים שנוצרו לקבוצות כדי להיות מסוגלים לבנות את כל המתמטיקה. כך בנה הלוגיקן הגרמני גוטלוב פרגה את המספרים הטבעיים. אפס הוא מחלקה של קבוצות שהאלמנטים שלהן נמצאים בהתאמה הדדית עם האלמנטים של הסט הריק. האחד הוא מחלקה של קבוצות שהאלמנטים שלה מתכתבים עם האלמנטים של קבוצה שהאלמנט היחיד שלה הוא הסט הריק. שתיים היא מחלקה של קבוצות שהאלמנטים שלהן הם אחד לאחד כאשר מרכיבי הסט מורכבים מהקבוצה הריקה והקבוצה שהאלמנט היחיד שלה הוא הסט הריק... וכן הלאה. במבט ראשון נראה שזה משהו מאוד מסובך, אבל למעשה זה לא.

כחול התפשט עלי

היה ריח של אברש והדיף ריח של נענע...

וויצ'ך מלינארסקי, נערת הקציר

קשה לדמיין

שום דבר לא קשה לדמיין. בסיפורו של סטניסלב לם "איך העולם הציל", המעצב טרול בנה מכונה שתעשה הכל החל באות. כשקלפאוצ'יוס הורה לבנות אותו Nic, המכונה החלה להסיר חפצים שונים מהעולם - במטרה סופית להסיר הכל. עד שקלפאוצ'יוס המבוהל עצר את המכונית, נעלמו מהעולם מהעולם גזיות, טקסוס, תלייה, פריצות, חרוזים, מכות, פופים, מטחנות, שיפודים, פילידרון וכפור. ואכן, הם נעלמו לנצח...

יוזף טישנר כתב היטב על האין בהיסטוריה של פילוסופיית ההרים. במהלך החופשה האחרונה שלי, החלטתי לחוות את הכלום הזה, כלומר, הלכתי לביצות הכבול בין נובי טארג וג'בלונקה בפודהלה. אזור זה נקרא אפילו Pustachia. אתה הולך, אתה הולך, אבל הדרך לא פוחתת - כמובן בקנה מידה הצנוע שלנו, הפולני. יום אחד נסעתי באוטובוס במחוז קנדי ​​ססקצ'ואן. בחוץ היה שדה תירס. ישנתי תנומה של חצי שעה. כשהתעוררתי, נסענו באותו שדה תירס... אבל רגע, זה ריק? במובן מסוים, היעדר שינוי הוא רק ריקנות.

אנו רגילים לנוכחות מתמדת של חפצים שונים סביבנו, וממנו משהו אתה לא יכול לברוח אפילו בעיניים עצומות. "אני חושב, לכן אני," אמר דקארט. אם כבר חשבתי משהו, אז אני קיים, כלומר יש לפחות משהו בעולם (כלומר, אני). האם מה שחשבתי קיים? אפשר לדון בזה, אבל במכניקת הקוונטים המודרנית, עקרון הייזנברג ידוע: כל תצפית מטרידה את מצב האובייקט הנצפה. עד שנראה את זה Nic זה לא קיים, וכשאנחנו מתחילים לחפש, האובייקט מפסיק להיות כמו וזה הופך להיות משהו. זה נהיה אבסורדי עקרון אנתרופי: אין טעם לשאול איך היה העולם אם לא היינו קיימים. העולם הוא מה שהוא נראה לנו. אולי יצורים אחרים יראו את כדור הארץ כזוויתי?

פוזיטרון (אלקטרון חיובי כזה) הוא חור בחלל, "אין אלקטרון". בתהליך ההשמדה, האלקטרון קופץ לחור הזה ו"לא קורה כלום" - אין חור, אין אלקטרון. אדלג על הרבה בדיחות על חורים בגבינה שוויצרית ("ככל שיש לי יותר, כך יש פחות..."). המלחין המפורסם ג'ון קייג' כבר השתמש ברעיונות שלו עד כדי כך שהוא הלחין (?) יצירה מוזיקלית (?) שבה התזמורת יושבת ללא ניע 4 דקות 33 שניות וכמובן לא מנגנת כלום. "ארבע דקות ושלושים ושלוש שניות זה מאתיים שבעים ושלוש, 273 ומינוס 273 מעלות זה אפס מוחלט, שבו כל התנועה נעצרת", הסביר המלחין (?).

סינון לאפס, כלום, ניק, ניק, כלום, אפס!

יז'י בסרטו של אנדז'יי וואג'דה לאורך השנים,

הימים חולפים"

מה עם כולם?

אנשים רבים (מחקלאים פשוטים ועד פילוסופים בולטים) תהו על תופעת הקיום. במתמטיקה המצב פשוט: יש משהו שהוא עקבי.

היא נעלמה בשדות השוליים

בקורנפלורים, עשבים שוטים ובפי אריה...

ובכן, דברים כאלה קורים

במיוחד בקציר, ובזמן הקציר

במיוחד…

וויצ'ך מלינארסקי, נערת הקציר

הכל נמצא בקצה השני של כלום. במתמטיקה אנחנו יודעים את זה הכל לא קיים. פשוט תפיסה לא מדויקת מדי שקיומו יהיה נקי ממחלוקת. ניתן להבין זאת בדוגמה של הפרדוקס הישן: "אם אלוהים הוא כל יכול, אז צור אבן להרים?" ההוכחה המתמטית לכך שלא יכולות להיות קבוצות של כל הקבוצות מבוססת על המשפט זמר-ברשטיין, שאומר ש"מספר אינסופי" (מתמטי: מספר קרדינלי) קבוצת כל האיברים של קבוצה נתונה גדולה ממספר האלמנטים של קבוצה זו.

אם לקבוצה יש אלמנטים, אז יש לו 2ⁿ קבוצות משנה; לדוגמה, כאשר = 3 והקבוצה מורכבת מ-{1, 2, 3} אז קיימות תת-הקבוצות הבאות:

• שלוש קבוצות של שני אלמנטים: בכל אחת מהן חסר אחד מהמספרים 1, 2, 3,
• סט אחד ריק,
• שלוש קבוצות של אלמנט אחד,
• כל הסט {1,2,3}

– רק שמונה, 2³וקוראים שסיימו לאחרונה את בית הספר, אני רוצה להיזכר בנוסחה המקבילה:

כל אחד מהסמלים הניוטוניים בנוסחה זו קובע את מספר קבוצות ה-k-אלמנטים בקבוצת האלמנטים.

במתמטיקה, מקדמים בינומיים מופיעים במקומות רבים אחרים, כמו בנוסחאות מעניינות לכפל מופחת:

ומצורתם המדויקת, התלות ההדדית שלהם מעניינת הרבה יותר.

קשה להבין מה זה - מבחינת ההיגיון והמתמטיקה - ומה זה לא הכל. טיעונים לאי קיום בדיוק כמו זה של פו הדוב, ששאל בנימוס את אורחו, טייגר, האם טייגרים אוהבים בכלל דבש, בלוטים וגדילן? "טיגריסים אוהבים הכל," ענה זה שממנו הסיק קובוס שאם הם אוהבים הכל, אז הם גם אוהבים לישון על הרצפה, ולכן, הוא, ויני, יכול לחזור למיטה.

עוד טיעון הפרדוקס של ראסל. יש ספר בעיר שמגלח את כל הגברים שלא מגלחים את עצמם. האם הוא מגלח את עצמו? שתי התשובות סותרות את התנאי שהועלה כי הם הורגים את אלה, ורק את אלה, שאינם עושים זאת בעצמם.

מחפש אוסף של כל האוספים

לסיכום, אתן הוכחה חכמה, אך מתמטית ביותר, שאין קבוצה של כל הקבוצות (לא להתבלבל איתה).

ראשית, נראה כי עבור כל קבוצה לא ריקה X, אי אפשר למצוא פונקציה ייחודית הדדית הממפה קבוצה זו לקבוצת המשנה שלה P(X). אז בואו נניח שהפונקציה הזו קיימת. בואו נסמן את זה ב-f המסורתי. מה זה f מ-x? זהו אוסף. האם xf שייך ל-x? זה לא ידוע. או שאתה חייב או שלא. אבל עבור x זה עדיין חייב להיות כזה שהוא לא שייך ל-f של x. ובכן, אז תחשבו על קבוצת כל x שעבורם x לא שייך ל-f(x). סמן אותו (קבוצה זו) ב-A. זה מתאים לאלמנט a כלשהו בקבוצה X. האם a שייך ל-A? בוא נניח שכדאי לך. אבל A היא קבוצה המכילה רק את אותם אלמנטים של x שאינם שייכים ל-f(x)... ובכן, אולי היא לא שייכת ל-A? אבל קבוצה א' מכילה את כל המרכיבים של תכונה זו, ומכאן גם א' סוף ההוכחה.

לכן, אם הייתה קבוצה של כל הקבוצות, היא בעצמה הייתה תת קבוצה של עצמה, מה שאי אפשר לפי הנימוק הקודם.

אוף, אני לא חושב שהרבה קוראים ראו את ההוכחה הזו. במקום זאת, העליתי את זה כדי להראות מה היה למתמטיקאים לעשות בסוף המאה התשע-עשרה, כשהחלו ללמוד את היסודות של המדע שלהם. התברר שהבעיות נמצאות במקום שאיש לא ציפה להן. יתרה מכך, עבור כל המתמטיקה, ההיגיון הזה לגבי הבסיסים אינו משנה: לא משנה מה קורה במרתפים - כל הבניין של המתמטיקה עומד על סלע איתן.

בינתיים, בחלק העליון...

אנו מציינים מוסר מוסר נוסף מסיפוריו של סטניסלב לם. באחד ממסעותיו הגיע איון טיצ'י לכוכב לכת שתושביו, לאחר אבולוציה ארוכה, הגיעו סוף סוף לשלב ההתפתחות הגבוה ביותר. כולם חזקים, הם יכולים לעשות הכל, יש להם הכל בהישג ידם... והם לא עושים כלום. הם נשכבים על החול ושופכים אותו בין אצבעותיהם. "אם הכל אפשרי, זה לא שווה את זה", הם מסבירים לאיג'ון ההמום. שזה לא יקרה לציוויליזציה האירופית שלנו...