אז למי, כלומר: נסה איפה אתה יכול - חלק 2

בפרק הקודם עסקנו בסודוקו, משחק חשבון שבו המספרים מסודרים בעצם בדיאגרמות שונות לפי כללים מסוימים. הגרסה הנפוצה ביותר היא לוח שחמט 9×9, המחולק בנוסף לתשעה תאים 3×3. יש להגדיר עליו את המספרים מ-1 עד 9 כדי שלא יחזרו בשורה אנכית (מתמטיקאים אומרים: בעמודה) או בשורה אופקית (מתמטיקאים אומרים: בשורה) - ויותר מכך, כך הם לא חוזרים. חזור על כל ריבוע קטן יותר.

Na תאנה. 1 אנו רואים את הפאזל הזה בגרסה פשוטה יותר, שהיא ריבוע בגודל 6 × 6 המחולק למלבנים של 2 × 3. אנו מכניסים לתוכו את המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6 - כך שהם לא יחזרו אנכית, גם לא אופקית, ולא בכל אחד מהמשושים שנבחרו.

בוא ננסה מוצג בריבוע העליון. האם אתה יכול למלא אותו במספרים מ-1 עד 6 לפי הכללים שנקבעו למשחק הזה? זה אפשרי - אבל מעורפל. בוא נראה - צייר ריבוע משמאל או ריבוע מימין.

אפשר לומר שזה לא הבסיס לפאזל. בדרך כלל אנו מניחים שלפאזל יש פתרון אחד. המשימה למצוא בסיסים שונים לסודוקו "הגדול", 9x9, היא משימה קשה ואין סיכוי לפתור אותה לחלוטין.

קשר חשוב נוסף הוא המערכת הסותרת. לא ניתן להשלים את הריבוע האמצעי התחתון (זה עם הספרה 2 בפינה הימנית התחתונה). למה?

כיף וריטריטים

אנחנו משחקים הלאה. בואו נשתמש באינטואיציה של ילדים. הם מאמינים שבידור הוא מבוא ללמידה. בואו נצא לחלל. להדליק תאנה. 2 כולם רואים את הרשת אַרְבָּעוֹןמכדורים, למשל, כדורי פינג-פונג? זכור שיעורי גיאומטריה בבית הספר. הצבעים בצד שמאל של התמונה מסבירים על מה הוא מודבק בהרכבת הבלוק. בפרט, שלושה כדורים פינתיים (אדומים) יודבקו לאחד. לכן, הם חייבים להיות אותו מספר. אולי 9. למה? ולמה לא?

אה לא ניסחתי את זה задачи. זה נשמע בערך כך: האם ניתן לרשום את המספרים מ-0 עד 9 ברשת הגלויה כך שכל פנים יכיל את כל המספרים? המשימה לא קשה, אבל כמה אתה צריך לדמיין! לא אקלקל את ההנאה של הקוראים ולא אתן פתרון.

זוהי צורה מאוד יפה ולא מוערכת. אוקטהדרון רגיל, בנוי משתי פירמידות (=פירמידות) בעלות בסיס מרובע. כפי שהשם מרמז, לאוקטהדרון יש שמונה פנים.

יש שישה קודקודים באוקטדרון. זה סותר קוביהשיש לו ששה פנים ושמונה קודקודים. הקצוות של שני הגושים זהים - שתים עשרה כל אחד. זֶה מוצקים כפולים - זה אומר שעל ידי חיבור מרכזי הפנים של הקובייה נקבל אוקטהדרון, ומרכזי הפנים של האוקטהדרון יתנו לנו קובייה. שתי הבליטות הללו מתפקדות ("כי הן חייבות") נוסחת אוילר: סכום מספר הקודקודים ומספר הפרצופים הוא 2 יותר ממספר הקצוות.

3. אוקטהדרון רגיל בהקרנה מקבילה וסריג אוקטהדרון המורכב מכדורים באופן שלכל קצה יש ארבע כדורים.

משימה 1. ראשית, רשום את המשפט האחרון של הפסקה הקודמת באמצעות נוסחה מתמטית. על תאנה. 3 אתה רואה רשת אוקטהדרלית, מורכבת גם היא מכדורים. לכל קצה יש ארבעה כדורים. כל פרצוף הוא משולש של עשרה כדורים. הבעיה נקבעת באופן עצמאי: האם ניתן לשים מספרים מ-0 עד 9 במעגלי הרשת כך שאחרי הדבקה של גוף מוצק, כל קיר מכיל את כל המספרים (מכך נובע ללא חזרה). כמו בעבר, הקושי הגדול ביותר במשימה זו הוא כיצד הרשת הופכת לגוף מוצק. אני לא יכול להסביר את זה בכתב, אז אני לא נותן את הפתרון גם כאן.

4. שני איקוסהדרונים מכדורי פינג-פונג. שימו לב לערכת הצבעים השונה.

כבר אפלטון (והוא חי במאות ה-XNUMX-XNUMX לפני הספירה) הכיר את כל הפוליהדרות הרגילות: טטרהדרון, קובייה, אוקטהדרון, דודקהדרון i איקוסהדרון. מדהים איך הוא הגיע לשם - בלי עיפרון, בלי נייר, בלי עט, בלי ספרים, בלי סמארטפון, בלי אינטרנט! אני לא אדבר כאן על הדודקהדרון. אבל הסודוקו האיקוסהדרלי מעניין. אנחנו רואים את הגוש הזה איור 4והרשת שלה rys. חָמֵשׁ.

5. רשת רגילה של האיקוסהדרון.

כמו קודם, לא מדובר ברשת במובן שבו אנו זוכרים (?!) מבית הספר, אלא בדרך של הדבקת משולשים מכדורים (כדורים).

משימה 2. כמה כדורים צריך כדי לבנות איקוסהדרון כזה? האם ההיגיון הבא עדיין מתקיים: מכיוון שכל פנים הוא משולש, אם צריכים להיות 20 פרצופים, אז צריך אפילו 60 כדורים?

6. רשת של איקוסהדרון מכדורים. כל עיגול הוא, למשל, כדור פינג-פונג, אך בניית עיגולים על עיגולים המסומנים באותו צבע מתמזגת לאחד. אז יש לנו שנים עשר כדורים (= שנים עשר קודקודים: אדום, כחול, סגול, כחול ושמונה צהובים).

קל לראות ששלושה מספרים באיקוסהדרון אינם מספיקים. ליתר דיוק: אי אפשר למנות קודקודים עם המספרים 1, 2, 3 כך שלכל פרצוף (משולש) יהיו שלושת המספרים הללו ואין חזרות. האם אפשר עם ארבעה מספרים? כן זה אפשרי! בוא נסתכל על אורז. 6 ו-7.

7. הנה איך למספר את הכדורים המרכיבים את האיקוסהדרון כך שכל פנים מכיל מספרים שאינם 1, 2, 3, 4. איזה מהגופים באיור. 4 זה צבעוני כזה?

משימה 3. ניתן לבחור שלושה מתוך ארבעת המספרים בארבע דרכים: 123, 124, 134, 234. מצא חמישה משולשים כאלה באיקוסהדרון באיור. 7 (כמו גם מ איורים 4).

4 עבודה (דורש דמיון מרחבי טוב מאוד). לאיקוזהדרון יש שנים עשר קודקודים, כלומר ניתן להדביק אותו משנים עשר כדורים (תאנה. 7). שימו לב שיש שלושה קודקודים (=כדורים) המסומנים ב-1, שלושה עם 2 וכן הלאה. לפיכך, כדורים מאותו צבע יוצרים משולש. מה זה המשולש הזה? אולי שווה צלעות? תסתכל שוב איורים 4.

המשימה הבאה לסבא/סבתא והנכד/הנכדה. סוף סוף גם הורים יכולים לנסות את כוחם, אבל הם צריכים סבלנות וזמן.

משימה 5. קנו שנים עשר (רצוי 24) כדורי פינג-פונג, איזה ארבעה צבעי צבע, מברשת ודבק נכון - אני לא ממליץ על מהירים כמו Superglue או Droplet כי הם מתייבשים מהר מדי ומסוכנים לילדים. דבק על האיקוסהדרון. הלבישו את הנכדה שלכם בחולצת טריקו שתיכבס (או תזרק) מיד לאחר מכן. מכסים את השולחן בנייר כסף (רצוי בעיתונים). צבעו בזהירות את האיקוסהדרון בארבעה צבעים 1, 2, 3, 4, כפי שמוצג באיור. תאנה. 7. ניתן לשנות את הסדר - תחילה צבעו את הבלונים ולאחר מכן הדביקו אותם. יחד עם זאת יש להשאיר עיגולים קטנטנים ללא צביעה על מנת שהצבע לא יידבק לצבע.

עכשיו המשימה הקשה ביותר (ליתר דיוק, כל הרצף שלהם).

6 עבודה (ליתר דיוק, הנושא הכללי). תכנן את האיקוסהדרון כארבעהדרון ואוקטהדרון על אורז. 2 ו-3 זה אומר שצריך להיות ארבעה כדורים בכל קצה. בגרסה זו, המשימה גם גוזלת זמן ואפילו יקרה. בואו נתחיל בלגלות כמה כדורים אתם צריכים. לכל פנים יש עשרה כדורים, אז האיקוסהדרון צריך מאתיים? לא! עלינו לזכור שהרבה כדורים משותפים. כמה קצוות יש לאיקוסהדרון? אפשר לחשב אותו בקפידה, אבל בשביל מה הנוסחה של אוילר?

w–k+s=2

כאשר w, k, s הם מספר הקודקודים, הקצוות והפנים, בהתאמה. אנו זוכרים ש-w = 12, s = 20, כלומר k = 30. יש לנו 30 קצוות של האיקוסהדרון. אתה יכול לעשות את זה אחרת, כי אם יש 20 משולשים, אז יש להם רק 60 קצוות, אבל שניים מהם נפוצים.

בוא נחשב כמה כדורים אתה צריך. בכל משולש יש רק כדור פנימי אחד - לא בחלק העליון של הגוף שלנו, ולא בקצה. לפיכך, יש לנו בסך הכל 20 כדורים כאלה. יש 12 פסגות. לכל קצה יש שני כדורים שאינם קודקודים (הם נמצאים בתוך הקצה, אך לא בתוך הפנים). מכיוון שיש 30 גולות, יש 60 גולות, אבל שתיים מהן משותפות, מה שאומר שאתה צריך רק 30 גולות, אז אתה צריך בסך הכל 20 + 12 + 30 = 62 גולות. ניתן לקנות כדורים ב-50 אגורות לפחות (בדרך כלל יקר יותר). אם תוסיף את עלות הדבק, זה ייצא...הרבה. חיבור טוב דורש מספר שעות של עבודה מאומצת. ביחד הם מתאימים לבילוי מרגיע - אני ממליצה עליהם במקום, למשל, לצפות בטלוויזיה.

נסיגה 1. בסדרת הסרטים של אנדז'יי וואג'דה שנים, ימים, שני גברים משחקים שח "כי הם צריכים איכשהו להעביר את הזמן עד לארוחת הערב". הוא מתרחש בקרקוב הגליציאנית. אכן: עיתונים כבר נקראו (אז היו להם 4 עמודים), עוד לא המציאו טלוויזיה וטלפון, אין משחקי כדורגל. שעמום בשלוליות. במצב כזה, אנשים הגיעו עם בידור לעצמם. היום יש לנו אותם לאחר לחיצה על השלט הרחוק...

נסיגה 2. במפגש 2019 של איגוד המורים למתמטיקה, פרופסור ספרדי הדגים תוכנת מחשב שיכולה לצבוע קירות מוצקים בכל צבע. זה היה קצת מפחיד, כי הם רק ציירו את הידיים, כמעט חתכו את הגוף. חשבתי לעצמי: כמה כיף אפשר להפיק מ"הצללה" כזו? הכל לוקח שתי דקות, ועד הרביעית אנחנו לא זוכרים כלום. בינתיים, "עבודת רקמה" מיושנת מרגיעה ומחנכת. מי שלא מאמין שינסה.

בואו נחזור למאה ה- XNUMX ולמציאות שלנו. אם אנחנו לא רוצים רגיעה בצורה של הדבקה עמלנית של כדורים, אז נצייר לפחות רשת של איקוסהדרון, שבקצוותיה יש ארבעה כדורים. איך לעשות את זה? קוצץ את זה נכון rys. חָמֵשׁ. הקורא הקשוב כבר מנחש את הבעיה:

משימה 7. האם ניתן למנות את הכדורים עם מספרים מ-0 עד 9 כך שכל המספרים הללו יופיעו על כל פנים של איקוסהדרון כזה?

על מה משלמים לנו?

כיום אנו שואלים את עצמנו לא פעם את שאלת מטרת הפעילות שלנו, ו" משלם המסים האפור " ישאל מדוע הוא צריך לשלם למתמטיקאים כדי לפתור חידות כאלה?

התשובה די פשוטה. "פאזלים" כאלה, מענינים בפני עצמם, הם "שבר של משהו רציני יותר". אחרי הכל, מצעדים צבאיים הם רק חלק חיצוני, מרהיב, משירות קשה. אתן רק דוגמה אחת, אבל אתחיל עם נושא מתמטי מוזר אך מוכר בינלאומי. בשנת 1852, סטודנט אנגלי שאל את הפרופסור שלו אם אפשר לצבוע מפה בארבעה צבעים כך שמדינות שכנות יוצגו תמיד בצבעים שונים? הרשו לי להוסיף שאיננו מחשיבים "שכנים" כאלו שנפגשים רק בנקודה אחת, כמו מדינות וויומינג ויוטה בארה"ב. הפרופסור לא ידע... והבעיה חיכתה לפתרון למעלה ממאה שנים.

8. Icosahedron מבלוקים RECO. מחזירי הבזק מראים מה המשותף לאיקוזהדרון עם המשולש והמחומש. חמישה משולשים מתכנסים בכל קודקוד.

זה קרה בצורה לא צפויה. ב-1976, קבוצה של מתמטיקאים אמריקאים כתבה תוכנית לפתרון הבעיה הזו (והם החליטו: כן, ארבעה צבעים תמיד יספיקו). זו הייתה ההוכחה הראשונה לעובדה מתמטית שהושגה בעזרת "מכונה מתמטית" - כפי שכינה מחשב לפני חצי מאה (ואף קודם לכן: "מוח אלקטרוני").

הנה "מפת אירופה" שהוצגה במיוחד (תאנה. 9). מדינות שיש להן גבול משותף מחוברות. צביעת המפה זהה לצביעת העיגולים של הגרף הזה (הנקרא הגרף), כך שאף עיגול מחובר לא יהיה באותו צבע. מבט על ליכטנשטיין, בלגיה, צרפת וגרמניה מראה ששלושה צבעים אינם מספיקים. אם תרצה, קורא, צבע אותו בארבעה צבעים.

9. מי גובל עם מי באירופה?

ובכן, כן, אבל האם זה שווה את הכסף של משלמי המסים? אז בואו נסתכל על אותו גרף קצת אחרת. תשכחו שיש מדינות וגבולות. תנו למעגלים לסמל מנות מידע שיש לשלוח מנקודה אחת לאחרת (למשל מ-P ל-EST), והקטעים מייצגים חיבורים אפשריים, שלכל אחד מהם יש רוחב פס משלו. לשלוח כמה שיותר מהר?

ראשית, בואו נסתכל על מצב מאוד פשוט, אבל גם מאוד מעניין מנקודת מבט מתמטית. עלינו לשלוח משהו מנקודה S (= כהתחלה) לנקודה M (= סיום) באמצעות רשת חיבור עם אותו רוחב פס, נניח 1. אנו רואים זאת ב תאנה. 10.

10. רשת קשרים מ-Statsyika Zdrój למגאפוליס.

בואו נדמיין שצריך לשלוח בערך 89 סיביות מידע מ-S ל-M. מחבר המילים האלה אוהב בעיות ברכבות, אז הוא מדמיין שהוא מנהל ב-Stacie Zdrój, משם הוא צריך לשלוח 144 קרונות. לתחנת מטרופולין. למה בדיוק 144? מכיוון שכפי שנראה, זה ישמש לחישוב התפוקה של כל הרשת. הקיבולת היא 1 בכל מגרש, כלומר. מכונית אחת יכולה לעבור ליחידת זמן (סיבית מידע אחת, אולי גם גיגה-בייט).

בואו נדאג שכל המכוניות ייפגשו בו זמנית ב-M. כולם מגיעים לשם ב-89 יחידות זמן. אם יש לי חבילת מידע חשובה מאוד מ-S ל-M לשלוח, אני מחלק אותה לקבוצות של 144 יחידות ודוחף אותה כמו לעיל. המתמטיקה מבטיחה שזה יהיה המהיר ביותר. איך ידעתי שאתה צריך 89? באמת ניחשתי, אבל אם לא מנחש, הייתי צריך להבין את זה משוואות קירכהוף (מישהו זוכר? - אלו משוואות שמתארות את זרימת הזרם). רוחב הפס של הרשת הוא 184/89, שזה בערך שווה ל-1,62.

על שמחה

אגב, אני אוהב את המספר 144. אהבתי לנסוע באוטובוס עם המספר הזה לכיכר הטירה בוורשה - כשלא הייתה לידה טירה מלכותית משוחזרת. אולי קוראים צעירים יודעים מה זה תריסר. זה 12 עותקים, אבל רק קוראים מבוגרים זוכרים שתריסר תריסר, כלומר. 122=144, זה מה שנקרא מגרש. וכל מי שיודע מתמטיקה קצת יותר מתוכנית הלימודים בבית הספר יבין את זה מיד תאנה. 10 יש לנו מספרי פיבונאצ'י ושרוחב הפס של הרשת קרוב ל"מספר הזהב"

ברצף פיבונאצ'י, 144 הוא המספר היחיד שהוא ריבוע מושלם. מאה ארבעים וארבע הוא גם "מספר משמח". ככה מתמטיקאי חובב הודי Dattatreya Ramachandra Caprecar בשנת 1955, הוא שם למספרים המתחלקים בסכום הספרות המרכיבות אותם:

אם הוא ידע את זה אדם מיצקביץ', בוודאי היה כותב לא בדז'יאדי: "מאם זרה; דמו גיבוריו הישנים / ושמו ארבעים וארבע, רק מהודר יותר: ושמו מאה ארבעים וארבע.

קח ברצינות את הבידור

אני מקווה ששכנעתי את הקוראים שחידות סודוקו הן הצד המהנה של שאלות שבהחלט ראוי להתייחס אליהן ברצינות. אני לא יכול לפתח את הנושא הזה יותר. הו, חישוב רוחב פס מלא של הרשת מהדיאגרמה שסופקה על תאנה. 9 כתיבת מערכת משוואות תימשך שעתיים או יותר - אולי אפילו עשרות שניות (!) של עבודה במחשב.