לם, טוקרצ'וק, קרקוב, מתמטיקה
ב-3-7 בספטמבר 2019, התקיים בקרקוב קונגרס יום השנה של החברה הפולנית למתמטיקה. יום נישואין, כי מאה שנה להקמת החברה. הוא היה קיים בגליציה מהשנים ה-1 (ללא שם התואר שלליברליזם הפולני של הקיסר FJ1919 היו גבולות), אך כארגון כלל ארצי הוא פעל רק מ-1919. ההתקדמות הגדולה במתמטיקה הפולנית מתוארכת ל-1939 XNUMX-XNUMX. XNUMX באוניברסיטת יאן קזימיר בלבוב, אבל הכינוס לא יכול היה להתקיים שם - וזה גם לא הרעיון הכי טוב.
המפגש היה חגיגי מאוד, מלא באירועים נלווים (כולל הופעה של יאצק וויצ'יצקי בטירה בניפולומיצה). את ההרצאות המרכזיות העבירו 28 דוברים. הם היו בפולנית כי האורחים המוזמנים היו פולנים - לאו דווקא במובן של אזרחות, אלא מזהים עצמם כפולנים. אה כן, רק שלושה עשר מרצים הגיעו ממוסדות מדעיים פולניים, חמישה עשר הנותרים הגיעו מארה"ב (7), צרפת (4), אנגליה (2), גרמניה (1) וקנדה (1). ובכן, זו תופעה ידועה בליגות כדורגל.
הטובים ביותר מופיעים כל הזמן בחו"ל. זה קצת עצוב, אבל חופש הוא חופש. כמה מתמטיקאים פולנים עשו קריירות מעבר לים שאי אפשר להשיג בפולין. כסף משחק כאן תפקיד משני, אבל אני לא רוצה לכתוב על נושאים כאלה. אולי רק שתי הערות.
ברוסיה, ולפני כן בברית המועצות, זה היה והינו ברמה הכי מודעת... ואיכשהו אף אחד לא רוצה להגר לשם. בתורו, בגרמניה, כתריסר מועמדים פונים לפרופסורה בכל אוניברסיטה (עמיתים מאוניברסיטת קונסטנץ אמרו שיש להם 120 בקשות בשנה, 50 מהן היו טובות מאוד ו-20 מצוינות).
ניתן לסכם מעט מהרצאות קונגרס היובל ביומן החודשי שלנו. כותרות כמו "גבולות של גרפים דלילים ויישומים שלהם" או "מבנה ליניארי וגיאומטריה של תת-מרחבים ומרחבי גורמים עבור מרחבים מנורמלים במידות גבוהות" לא יספרו לקורא הממוצע דבר. את הנושא השני הציג חברי מהקורסים הראשונים, ניקול טומצ'ק.
לפני מספר שנים היא הייתה מועמדת על ההישג שהוצג בהרצאה זו. מדליית פילדס הוא המקבילה למתמטיקאים. עד כה, רק אישה אחת קיבלה את הפרס הזה. ראוי לציין גם את ההרצאה אנה מרציניאק-צ'ורה (אוניברסיטת היידלברג) "תפקידם של מודלים מתמטיים מכניסטיים ברפואה בדוגמה של מודל לוקמיה".
נכנס לרפואה. באוניברסיטת ורשה, קבוצה בראשות פרופ. יז'י טיורין.
כותרת ההרצאה תהיה בלתי מובנת לקוראים וסלבה ניציול (z prestiżowej בית ספר פדגוגי גבוה) "-התיאוריה של הודג'". עם זאת, בהרצאה זו החלטתי לדון כאן.
גיאומטריה -עולמות אדים
זה מתחיל בדברים קטנים ופשוטים. האם אתה זוכר, קורא, את שיטת ההחלפה הכתובה? בהחלט. חשבו על השנים חסרות הדאגות של בית הספר היסודי. חלקו את 125051 ב-23 (זו הפעולה משמאל). האם אתה יודע שזה יכול להיות שונה (פעולה מימין)?
השיטה החדשה הזו מעניינת. אני הולך מהסוף. אנחנו צריכים לחלק את 125051 ב-23. במה אנחנו צריכים להכפיל את 23 כדי שהספרה האחרונה תהיה 1? מחפשים בזיכרון ויש לנו :=7. הספרה האחרונה של התוצאה היא 7. מכפילים, מפחיתים, נקבל 489. איך מכפילים 23 כדי להגיע ל-9? כמובן, עד 3. אנחנו מגיעים לנקודה שבה אנחנו קובעים את כל המספרים של התוצאה. נראה לנו שזה לא מעשי וקשה יותר מהשיטה הרגילה שלנו - אבל זה עניין של תרגול!
הדברים מקבלים תפנית אחרת כאשר האיש האמיץ אינו מחולק לחלוטין על ידי המחלק. בוא נעשה את החלוקה ונראה מה קורה.
משמאל מסלול בית ספר טיפוסי. מימין "המוזרים שלנו".
אנו יכולים לבדוק את שתי התוצאות על ידי הכפלה. אנו מבינים את הראשון: שליש מהמספר 4675 הוא אלף חמש מאות חמישים ושמונה, ושלושה בתקופה. השני לא הגיוני: מה המספר הזה שקודם לו מספר אינסופי של שש ואז 8225?
נעזוב לרגע את שאלת המשמעות. בוא נשחק. אז בואו נחלק 1 ב-3 ואז 1 ב-7 שזה שליש ושביעית. נוכל להשיג בקלות:
1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.
שורה אחרונה זו פירושה: בלוק 285714 חוזר בהתחלה ללא הגבלת זמן, ולבסוף יש שלושה מהם. למי שלא מאמין, הנה מבחן:
עכשיו בואו נוסיף שברים:
לאחר מכן נוסיף את המספרים המוזרים שהתקבלו, ונקבל (סמן) את אותו מספר מוזר.
......95238095238095238095238010
אנחנו יכולים לבדוק שזה שווה ל
העיקר עדיין לא נראה, אבל החשבון נכון.
עוד דוגמה אחת.
למספר הרגיל, אם כי גדול, 40081787109376 יש תכונה מעניינת: הריבוע שלו מסתיים גם ב-40081787109376. המספר x40081787109376, כלומר ( x40081787109376)2 מסתיים גם ב-x40081787109376.
עֵצָה. יש לנו 400817871093762= 16065496 57881340081787109376, אז הספרה הבאה היא השלמה של שלוש עד עשר, שזה 7. בוא נבדוק: 7400817871093762= 5477210516110077400817 87109376.
השאלה מדוע זה כך היא שאלה קשה. זה יותר קל: מצא סיומות דומות למספרים המסתיימים ב-5. בהמשך תהליך מציאת הספרות הבאות ללא הגבלה, נגיע ל"מספרים" כאלה ש 2=2= (ואף אחד מהמספרים הללו אינו שווה לאפס או לאחד).
אנחנו מבינים היטב. ככל שאחרי הנקודה העשרונית, המספר פחות חשוב. בחישובים הנדסיים חשובה הספרה הראשונה אחרי הנקודה העשרונית, כמו גם השנייה, אך במקרים רבים ניתן להניח שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא 3,14. כמובן שצריך לכלול יותר מספרים בענף התעופה, אבל אני לא חושב שיהיו יותר מעשרה.
השם הופיע בכותרת המאמר סטניסלב לם (1921-2006), כמו גם חתן פרס נובל החדש שלנו. גברת אולגה טוקרצ'וק הזכרתי את זה רק בגלל חוסר צדק צועקהעובדה היא שסטניסלב לם לא קיבל את פרס נובל לספרות. אבל זה לא בפינה שלנו.
לם חזה לעתים קרובות את העתיד. הוא תהה מה יקרה כשהם יהיו בלתי תלויים בבני אדם. כמה סרטים בנושא זה הופיעו לאחרונה! לם חזה בצורה מדויקת למדי את הקורא האופטי ואת הפרמקולוגיה של העתיד.
הוא ידע מתמטיקה, למרות שלפעמים הוא התייחס אליה כאל קישוט, ולא אכפת לו מהנכונות של החישובים. לדוגמה, בסיפור "משפט", הטייס פירקס נכנס למסלול B68 עם תקופת סיבוב של 4 שעות ו-29 דקות, וההדרכה היא 4 שעות ו-26 דקות. הוא זוכר שהם חישבו בטעות של 0,3 אחוז. הוא נותן את הנתונים למחשבון, והמחשבון עונה שהכל בסדר... ובכן, לא. שלוש עשיריות האחוז מ-266 דקות זה פחות מדקה. אבל האם השגיאה הזו משנה משהו? אולי זה היה בכוונה?
למה אני כותב על זה? מתמטיקאים רבים גם העלו שאלה זו: דמיינו קהילה. אין להם את המוח האנושי שלנו. עבורנו, 1609,12134 ו-1609,23245 הם מספרים קרובים מאוד - קירובים טובים למייל האנגלי. עם זאת, מחשבים עשויים לראות את המספרים 468146123456123456 ו-9999999123456123456 קרובים. יש להם אותן סיומות בן שתים עשרה ספרות.
ככל שהספרות הנפוצות יותר בסוף, כך המספרים קרובים יותר. וזה מוביל למה שנקרא מרחק -אדיק. תן ל-p להיות שווה ל-10 לרגע; למה רק "לזמן מה", אני אסביר... עכשיו. מרחק 10 הנקודות של המספרים הכתובים למעלה הוא
או המיליון - כי למספרים האלה יש שש ספרות משותפות בסוף. כל המספרים השלמים שונים מאפס באחד או פחות. אני אפילו לא אכתוב תבנית כי זה לא משנה. ככל שמספרים זהים יותר בסוף, כך המספרים קרובים יותר (לאדם, להיפך, נחשבים המספרים הראשוניים). חשוב ש-p יהיה מספר ראשוני.
ואז - הם אוהבים אפסים ואחדים, אז הם רואים הכל בתבניות האלה: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.
ברומן Glos Pana, סטניסלב לם שוכר מדענים כדי לנסות לקרוא הודעה שנשלחה מהעולם הבא, מקודדת אפס-אחד כמובן. מישהו כותב לנו? לם טוען כי "ניתן לקרוא כל הודעה אם זו הודעה שמישהו רצה לספר לנו משהו". אבל האם זה? אני אשאיר את הקוראים עם הדילמה הזו.
אנחנו חיים בחלל תלת מימד R3. מִכְתָב R מזכיר שהצירים מורכבים ממספרים ממשיים, כלומר מספרים שלמים, שליליים וחיוביים, אפס, רציונלי (כלומר שברים) ואי-רציונלי, שהקוראים פגשו בבית הספר (), ומספרים הידועים כמספרים טרנסצנדנטליים, בלתי נגישים באלגברה (זה המספר π , המחבר את קוטר המעגל עם היקפו כבר יותר מאלפיים שנה).
מה אם הצירים של המרחב שלנו היו מספרים אדיים?
יז'י מיודשובסקי, מתמטיקאי באוניברסיטת שלזיה, טוען שזה יכול להיות כך, ואפילו שזה יכול להיות כך. אנחנו יכולים (אומר יז'י מיודשבסקי) לתפוס את אותו מקום בחלל עם ישויות כאלה, בלי להתערב ובלי לראות זה את זה.
אז יש לנו את כל הגיאומטריה של העולם "שלהם" לחקור. לא סביר ש"הם" חושבים עלינו באותה צורה וגם לומדים את הגיאומטריה שלנו, כי שלנו הוא מקרה גבולי של כל העולמות "שלהם". "הם", כלומר כל עולמות הגיהנום, שבהם הם מספרים ראשוניים. בפרט, = 2 והעולם המרתק הזה של אפס-אחד ...
כאן עלול קורא המאמר לכעוס ואף לכעוס. "האם זה מסוג השטויות שמתמטיקאים עושים?" הם מפנטזים על לשתות וודקה אחרי ארוחת הערב, ולהשתמש בכסף שלי (=של משלם המיסים). ותפזר אותם לארבע רוחות, תן להם ללכת לחוות מדינה... הו, אין יותר חוות מדינה!
לְהִרָגַע. תמיד הייתה להם נטייה לבדיחות כאלה. הרשו לי רק להזכיר את משפט הכריך: אם יש לי כריך עם גבינה וחזיר, אני יכול לחתוך אותו בחתך אחד כדי לחצות את הלחמנייה, הבשר והגבינה. זה חסר תועלת בפועל. הנקודה היא שזה רק יישום שובב של משפט כללי מעניין מניתוח פונקציונלי.
עד כמה זה רציני להתמודד עם מספרים אדיים וגיאומטריה קשורה? הרשו לי להזכיר לקורא שמספרים רציונליים (באופן פשטני: שברים) מונחים בצפיפות על הקו, אך אינם ממלאים אותו מקרוב.
מספרים אי-רציונליים חיים ב"חורים". יש הרבה, אינסוף רבים מהם, אבל אפשר גם לומר שהאינסוף שלהם גדול מזה של הפשוטים שבהם סופרים: אחת, שתיים, שלוש, ארבע ... וכן הלאה עד ∞. זהו המילוי האנושי שלנו של "חורים". את המבנה הנפשי הזה ירשנו מ פיתגוראים.
אבל מה שמעניין וחשוב למתמטיקאי הוא שאי אפשר "למלא" את החורים האלה במספרים אי-רציונליים ו-p-adic (עבור כל הראשוניים p). לאותם קוראים שמבינים זאת (וזה נלמד בכל תיכון לפני שלושים שנה), הנקודה היא שכל רצף שמספק המדינה של קאוצ'י, מתכנס.
מרחב שבו זה נכון נקרא שלם ("לא חסר כלום"). אני אזכור את המספר 547721051611007740081787109376.
הרצף 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 וכן הלאה מתכנס לגבול מסוים, שהוא בערך 0,5477210516110077400 81787109376.
עם זאת, מנקודת המבט של מרחק 10-adic, רצף המספרים 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 וכן הלאה מתכנס גם למספר ה"מוזר"... 547721051 611007740081787109376.
אבל אולי אפילו זו לא סיבה מספקת לתת למדענים כסף ציבורי. באופן כללי, אנו (מתמטיקאים) מגנים על עצמנו בכך שאי אפשר לחזות למה המחקר שלנו יועיל. כמעט בטוח שלכל אחד יהיה תועלת כלשהי ושרק לפעולה בחזית רחבה יש סיכוי להצליח.
אחת ההמצאות הגדולות ביותר, מכונת הרנטגן, נוצרה לאחר שהתגלתה בטעות רדיואקטיביות בקרלה. אלמלא המקרה הזה, שנים רבות של מחקר כנראה היו חסרות תועלת. "אנחנו מחפשים דרך לעשות צילום רנטגן של גוף האדם."
לבסוף, הדבר החשוב ביותר. כולם מסכימים שהיכולת לפתור משוואות משחקת תפקיד. והנה המספרים המוזרים שלנו מוגנים היטב. המשפט המקביל (אני שונא את מינקובסקי) אומר שניתן לפתור משוואות מסוימות במספרים רציונליים אם ורק אם יש להן שורשים ושורשים אמיתיים בכל גוף -אדי.
פחות או יותר גישה זו הוצגה אנדרו ווילס, שפתר את המשוואה המתמטית המפורסמת ביותר של שלוש מאות השנים האחרונות - אני ממליץ לקוראים להזין אותה במנוע חיפוש "משפטו האחרון של פרמה".
