מתמטיקה בצבע
אחד הקוראים האשים אותי ברמזים פוליטיים במאמרי על מתמטיקה. ובכן, דיברתי רק על אימון. בית הספר תמיד היה נושא פוליטי, גם כאשר הוא היה אמור להיות א-פוליטי מבחינת תוכנה. בתחילת אפריל, לאחר כניסתן של מגבלות קרדינליות בחיינו הציבוריים, הביקוש ללמידה מרחוק גדל באופן דרמטי. חלק מהמאמר שלי הוא תגובה לסדרת הרצאות בטלוויזיה לתלמידי בית ספר יסודי. הם עוררו סערה בעולמם של המורים למתמטיקה – הם היו מלאים בשטויות, כמו חבית מים ישנה שנזרקה לאגם. כדי שאף אחד לא יאשים אותי בפוליטיזציה, אני לא אכתוב באיזה ערוץ טלוויזיה זה היה.
הטקסט מקוטע – אני מתחיל בשיחה לילדים צעירים, אבל עובר להנמקה למבוגרים ולהיפך. זה לא כדי לשעמם אותך. קודם כל לילדים. זה הקול שלי בדיון על איך (טוב, איך אפשר) לדבר עם ילדים על "מלכת המדעים".
תרגיל 1. תסתכל על הפאזל הראשון שלי. מה אתה רואה על זה?
איפה את גר? סימן. אתה חושב שבחרתי את צבעי הגבולות שלנו במקרה, או שאתה יכול למצוא הסבר למה ה"חלק העליון" הוא כחול-ירוק, וה"תחתון" הוא דמות לבנה? אבל למה כתבתי "למעלה" ו"למטה"? הרי לחלקים האלה בעולם קוראים... נו, מה בדיוק? והשניים האחרים? או אולי אתה יודע מדוע הכינויים הבינלאומיים של ארבע הנקודות הקרדינליות הם N, E, W, S?
תרגיל 2. הסתכלו על התמרורים (1). לאיזה נוכל לקרוא ריבוע? ולמה פינות הראשון והשלישי מעוגלות? גלה אילו שלטי דרכים הם משולשים, עגולים (עגולים) ומתומנים בצורתם. מדוע סימן משולש אחד שונה מהאחרים? למה רק שלט מתומן אחד?
1. אילו מהסמלים הללו הם מרובעים?
תרגיל 3. היכנס לאינטרנט. הרם כל דפדפן. הקלידו "מרובע", ואז בחרו ב"תמונות" ו...הסתכלו על התמונות שיש שם. לא כולם, אלא רק תריסר. בחר את זה שאתה הכי אוהב. אתה בחרת? עכשיו תנסה שכנע אותילמה זה. אולי אתה לא מכיר את עצמך? או שאולי אתה יודע?
תרגיל 4. עכשיו תסתכל על פאזל מספר 2 שלי. אתה רואה בו ריבועים? בדיוק - זה אדום בפנים. הם נעשים גדולים יותר. לראשון, הקטנטן, משמאל יש עין אחת, "כפתור" אחד.
אני אענה מיד. ריבוע קסם הוא ריבוע שבו סכום המספרים בצורה אופקית, אנכית ואלכסונית זהה. בוא נבדוק: בטח הייתם אומרים שהשני גדול פי שניים כי יש לו שני כפתורים בכל צד... אה, זה גדול פי שניים? ספרו כמה כפתורים יש לו ארבעה! בוא נראה מה יקרה אחר כך. השלישי ברוחב ושלוש לולאות בגובה. סופר את התפרים. כמה יש שם? 25. הרביעית הרביעית היא ארבעה ארוכה ורחבה (או גבוהה). ארבע כפול ארבע זה שש עשרה. כן, יש לו שישה עשר תפרים. והחמישי? יש חמישה תפרים בכל צד, אז כמה יש בסך הכל? בראבו, 25. אנחנו אומרים שלכיכר זו יש שטח של XNUMX. אבל כנראה ידעת את זה. אז, כפי שמוצג בטבלה מימין.
4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6= 4+5+6=8+5+2=15.
ויקיפדיה כותבת בצדק שריבועי קסם הם חסרי תועלת במדע. הם רק מעניינים. אבל הדרכים שבהן הם בנויים מעניינות יותר מהריבועים עצמם. זה כמו בתיירות: הרבה פעמים המטרה היא משנית, הדרך אליה חשובה. בואו נסתכל איך בונים ריבוע של עשרים וחמישה מטרים רבועים. אנחנו שמים את זה באמצע ונזכרים ב"משחק המלכותי" שכבר נשכח, כלומר, שחמט. נקפוץ ישר ל-NNE (צפון-צפון-מזרח). כבר ה"טרויקה" נופלת מהכיכר. אנחנו לוקחים אותו למקומו (האחרון בשורה השנייה מלמטה). מזכיר לי את המחזמר "צמצום לאוקטבה הראשונה". אנו מיישמים את העיקרון הזה בעקביות... כל עוד אפשר. הוא נתקע בשש. זה לא משנה, שמנו את השישה מתחת לחמישייה האדומה, שנמצאת כבר בתוך הריבוע שלנו.
2. למה הריבוע הזה הוא "קסם"?
חזרה למתמטיקה לילדים. עכשיו תסתכל בראש הפאזל שלי מס' 2. האם יש שם ריבועים? לֹא! איך קוראים לדמויות האלה? ביטה, מה שלומך? אתה צודק, מלבנים. למה קוראים להם ככה? כי יש להם זוויות ישרות? נדבר על זה קצת מאוחר יותר, אבל לעת עתה בואו נזכור מהי זווית ישרה. ברטק, איך תסביר את זה למישהו שלא יודע? אולי זו זווית כל כך אחידה. ובכן, תן לזה להיות. אם אנחנו נוסעים במכונית ופונים בזווית ישרה, אז לא קדימה ולא אחורה מדי, אלא בדיוק הצידה. סלינה, קום ותסתובב בזווית ישרה. שמאל או ימין? איך שתרצה.
בואו נדבר גם על הצורות למעלה, כלומר, המלבנים. מי מהם שמן, רזה, רזה, גבוה, נמוך, פחות מאורך, יותר מאורך? בוודאי תסכימו שהצהוב מימין ארוך, דק וגבוה. אבל תהיה זהיר. אם הוא שוכב על הצד, הוא גם יהיה ארוך, אבל קצר. האם היית קורא לו "שמן"?
3. התחל לבנות ריבוע קסם של 5 על 5.
4. איך בונים ריבוע קסם בגודל 5X5?
עכשיו שוב שני תוספות לקוראים מבוגרים. הראשון הוא 100. אני חושב ש-100 זה מאה בכל שפה סלאבית. זה חשוב לבלשנים. שמו של מספר זה מבדיל בין שתי קבוצות של שפות הודו-אירופיות, הכוללות את כל השפות ביבשת שלנו, מלבד פינית, הונגרית, באסקית אסטונית והברטונית המעט ידועה.
בשפות שהתפתחו בגל ההגירות הראשון, המילה 100 התפתחה ל-(יוונית) ו-(לטינית), שמהן מקורן הן הצרפתית והן הגרמנית (וכמובן, האנגלית). לכן אנו מכנים את השפות הללו centums.
השפה שלנו שייכת לקבוצת השפות המרכזיות או הסאטמיות, מכיוון שלאחר הפלטליזציה (ריכוך) שפת האם לבשה את הצורה היפה והקצרה הזו של מאה. מאה שנים, מאה שנים, יחי...
5. לאניני טעם. ריבוע קסם המורכב ממספרים ראשוניים.
ההוספה השנייה ארוכה יותר, אך מתאימה בצורה מושלמת.
מתמטיקאי ו
המדד ה-BMI ביררתי מתוך צורך. הרשו לי להזכיר לכם שזהו אינדיקטור שמשווה ומעריך את ההתאמה של משקלו של מטופל מבוגר לנורמה מבוססת תיאורטית. הנוסחה המתמטית פשוטה: חלקו את המשקל שלכם (בקילוגרמים) בריבוע הגובה שלכם (במטרים). ההנחה היא שהמגבלה לעודף משקל היא מנה של 25. בסולם זה, הטניסאי הספרדי הנודע רפאל נדאל סובל כמעט מעודף משקל (185 ס"מ, 85 ק"ג), מה שנותן BMI של 24,85. רזה כמו צ'יפ, יריבו הסרבי נובאק ג'וקוביץ' הוא 21,79 ומתאים בקלות למגבלות המשקל הרגיל. מחבר המילים הללו... לא אגיד עד כמה הנתון הזה גבוה. עם זאת, בתור הגבול התחתון של המשקל הנכון עבורי (180 ס"מ), זה ... 61 ק"ג. בחור במשקל 180 ק"ג במשקל 61 ק"ג בוודאי יפול בכל משב רוח. אני מאמין שלמרות שהעיקרון של המדד עצמו נכון, הגדרת הפרמטרים הזו כנראה נכפתה על ידי חברות התרופות (כדורי דיאטה).
הרופאים עצמם מודעים לכך שמדד זה אינו לוקח בחשבון את המאפיינים האישיים של המטופל. אני אוסיף גם עובדה מתמטית. אנשים מבוגרים יורדים במשקל. עמוד השדרה שלהם קורס. בצעירותי הייתי בגובה 184 ס"מ, עכשיו 180 ס"מ. אם הייתי שוקל 100 ק"ג, אז "אז", כלומר בגובה של 184 ס"מ, זה היה נותן אינדיקטור של 29,5 (אני דרגת עודף משקל), ועכשיו שעם גובה 180 ס"מ זה יהיה 30,9 (עודף משקל מהמעלה השנייה). ובכל זאת "אני" לא התכווץ, רק עמוד השדרה התפתל.
בואו נבדוק את מדד ה-BMI עבור "קביעות אינדיקטורים". הנקודה היא שלא צריך להיות משנה אם הנתונים ניתנים במערכת המטרית (קילוגרמים ומטרים) או, למשל, בפאונד ו-foot באנגלית. כמובן שהמספרים יהיו שונים וכך גם המספרים המבטאים את מהירות התנועה במיילים ובקילומטרים. אבל אפשר בקלות להפוך אחד לשני ללא סתירה. הנה סטייה. ניתן להמיר מיילים בקלות לקילומטרים. אבל כשנשאל כמה גדול המקרר, השיב חברי הקנדי: "27 רגל מעוקב". ותהיה חכם כאן. המצב חמור עוד יותר כאשר קובעים את צריכת הדלק של מכונית. בארה"ב ובקנדה הם מדרגים את זה כ"כמה מיילים לליטר אסע?" קורא, אולי תוכל לשפוט (לחשב) אם 60 mpg זה יותר מדי או מעט מדי? הגלון האמריקאי השני שונה מהגלון הקנדי (נקרא גם אימפריאלי). נכון, מדדים מדדים תקפים בקנדה כבר שנים רבות, אבל שינוי הרגלים לא כל כך קל.
אבל עם BMI הכל בסדר. מכיוון שרגל אנגלית היא 30,48 ס"מ ופאונד הוא 0,454 ק"ג, יש להכפיל את התוצאה של ה-BMI האנגלי (מבוטא בקילוגרמים של משקל לכל רגל מרובע של גובה) ב-0,454 וב-0,30482, השווה ל-4,88. אדם באורך 180 ס"מ שוקל 220,26 פאונד ו-5,9 רגל. שתי השיטות לחישוב BMI זהות, 30,9.
עכשיו הכי מעניין (מנקודת מבט של מתמטיקה). באחד הספרים שלי תיארתי את "מדד העגלגלות" – עד כמה צורות מעוגלות נראות כמו עיגול. כמה - כלומר מתמטית "כמה אחוזים". הגלגל כמובן עגול במאה אחוז. ועוד מספרים? איך למדוד את זה?
בואו ליישם את הרעיון הזה למדידת עד כמה מלבן "נראה" כמו ריבוע. בואו נקרא לזה "אמצעי הרס". הריבוע צריך להיות 100% סדוק, נכון? המתמטיקאי מעדיף לומר שהסדק של ריבוע הוא 1, והסדק של מלבנים צרים קטן יותר בהתאם.
בואו ניישם משהו כמו מדד מסת הגוף על המלבנים. מחלקים את השטח בריבוע של ההיקף. כמה עולה ריבוע עם צלע a? זה רק 1/16 מהחשבונות. כדי לקבל אינדקס של 1, נכפיל ב-16. אז מדד מסת הגוף של מלבנים הוא
עכשיו דמיינו שהמלבנים הולכים לרופא. "אני הולך לחשב את ה-BMI שלך," אומר הרופא. בבקשה, אחד אחד. הנה התוצאות שלך. איזה מהם לרדת במשקל?
6. איזה מלבן מיועד לירידה במשקל, ואיזה אנורקסיה? חשב אותם
הַצהָרָה. BMI מתייחס לאנשים כאל יצורים שטוחים! מחוון זה עובד היטב (מבלי לקחת בחשבון את ההגדרות של רמות הגבול). עם זאת, מתמטיקאים סקפטיים. זה פשוט מכדי להיות גנרי. יש להתייחס בזהירות רבה לנוסחאות מתמטיות פשוטות מדי לתיאור תופעות ביולוגיות וחברתיות.
חזרנו לשוחח עם ילדים צעירים יותר. בואו נסתכל שוב על חידה מספר 2. סיכמנו, ילדים יקרים, שזה נכון שלמלבן יש רק זוויות ישרות. זה יהיה מוזר אם זה היה אחרת. אבל גם לדמויות שמתחת (הפירמידה הכחולה), ל"טוויסט" הסגול ולגלגל השיניים הכחולה יש רק זוויות ישרות. אולי הם מלבניים? לא, אנשים הסכימו שמלבנים הם רק אלה שיש להם ארבע זוויות ישרות, לא יותר.
למד לחשוב נכון. תראה:
אם משהו הוא מלבן, אז יש לו רק זוויות ישרות. זה לא אותו דבר כמו:
אם למשהו יש רק זוויות ישרות, זה מלבן.
למה? במקום מלבן, קח חתול וכלב, במקום זוויות ישרות, קח כפות. האם אתה מבין עכשיו? בהחלט!
פרשנות למבוגרים (ולא רק). בצעירותי הייתה סיסמה: לחשיבה יש עתיד קולוסאלי! הלוואי שזה היה כל כך מזמן.
מבינה. שאלה חשובה. האם ריבוע הוא מלבן? יש! יש לו ארבע זוויות ישרות! אנו יכולים לומר שריבוע הוא המלבן השווה ביותר. כל צד זהה באורך.
נמשיך להכין פאזלים יפים. אתה יודע בדיוק מה זה מספר זוגי. אם הכיתה נקבעת בזוגות, או שמישהו יישאר ללא זוג, או ש...לא יישאר. האם 12 הוא מספר זוגי? כן. כששנים עשר אנשים רוצים לשחק כדורעף, קל להם להקים שתי קבוצות. פעמיים שש זה שתים עשרה. ואם אותם אנשים רוצים לשחק פינג-פונג, הם יכולים ליצור שישה זוגות. שש כפול שתיים זה גם שתים עשרה.
מה המשותף ביניהם: גפרור, חתונה, דו-קרב, מראה ומטבע? מספר שתיים. במשחק שתי קבוצות, גבר ואישה מתחתנים (כן, גבר ואישה - הוא מתחתן, היא מתחתנת). שני יריבים נלחמים בדו-קרב, במראה אנחנו רואים "" אני קצת שונה. למדליה יש שני צדדים. מה שמותיהם? עץ או פלי. יש לנו נשר על מטבעות פולניים. האם אתה מכיר מישהו שיש לו אח או אחות תאומים? לפני זמן רב השתמשו בכפרים "תאומים" - שני כלים מחוברים, אחד למרק, השני ל...מנה שנייה.
או אולי אתה מבין את המילים: כפול, סימטריה, היפוך, דואליות, הפוך, תאומים, דואט, טנדם, אלטרנטיבי, שלילי, הכחשה?
אם לחדר יש שתי יציאות (או כניסה ויציאה, מה שאתה מעדיף), נגיד שיש לו "שתי דלתות"? לא, איכשהו זה לא בסדר. איך זה נכון? למה אנחנו אומרים כך? ואם נוסיף עוד כניסה לחדר שתי דלתות ונכניס שם דלת, כמה דלתות יהיו? שְׁלוֹשָׁה? אוי לא….
ה"קדמי" הולך יד ביד עם ה"אחורי". איפה שיש "שמאל", יש גם "ימין", אם משהו אינו "מעל", אז זה יכול להיות "למטה". אם לא היה פלוס, המינוס לא היה נחוץ. מספר שתיים נהדר.
הם שרים: "שני כלבים..." אתה מכיר את המנגינה? אם לא, למד.
כמה בלוקים יש בפאזל הבא? אני לא יודע, אנחנו אפילו לא נספור. כלומר בלי לספור, אני יודע שיש מספר זוגי. למה? קספר, איך אני יודע את זה? אה, אתה כבר יודע? כמו שאתה אומר? שכולם שווים? על אותו הדבר!
בצורה חלקה. לזוג. לא מפריע לך שהוורוד משמאל כהה יותר מזה שבימין?
מה שאפילו לא שם. אני זוכר שבתור ילד שיחקתי כדורגל, תמיד הייתה בעיה אם היינו שבעה, תשע, אחת עשרה, שלוש עשרה... אי אפשר היה לחלק לשתי קבוצות שוות. הפתרון היה ששיחקנו על שער אחד. השוער לא היה שייך לאף אחת מהקבוצות. הוא היה צריך להגן על עצמו מכל מכה.
אתגר... לא רק למבוגרים. תנו דוגמאות לרכבים בעלי מספר אי זוגי של גלגלים (איננו סופרים את הגלגל הרזרבי ברכב). יום אחד שמתי לב שזה יכול להיות... רכבל לקספרובי וירץ' - רכב התגלגל לאורך הכבל על שבעה גלגלים. אבל עכשיו אני לא יודע איך זה.
כמה בלוקים יש בפאזל הרביעי? האם יש מספר זוגי או אי-זוגי? פטרק, זה בשבילך! איך תפתרו את זה? אתה רוצה לספור ואז תדע? ובכן, אתה טועה בחישוב הזה? תראה אם זה לא משנה.
בימי קדם, מספרים אי-זוגיים נחשבו לטובים ביותר. היום אנחנו מעדיפים זוגיות. הידעתם שאם אנחנו נותנים למישהו פרחים, אז חייב להיות מספר אי זוגי שלהם? כמובן שזה לא חל על זרי פרחים ענקיים.
אתגר אפשרי... אולי לא רק למבוגרים. מי ראוי למילים של הכרת תודה, פרחים וכבוד מכולנו (ובואו לא נפחד מזה - פרס מוצק!) על עבודה חסרת אנוכיות, מתישה, ארוכה, קשה ומסוכנת כדי שלא נהיה חולים, ואם אנחנו חולים, להתאושש בהקדם האפשרי?
