קסם הפוך

מדברים הרבה על "קסם ההפכים", ולא רק במתמטיקה. זכור שמספרים מנוגדים הם אלה שנבדלים רק בסימן: פלוס 7 ומינוס 7. סכום המספרים המנוגדים הוא אפס. אבל עבורנו (כלומר מתמטיקאים) ההדדיות מעניינות יותר. אם מכפלת המספרים שווה ל-1, אז המספרים הללו הפוכים זה לזה. לכל מספר יש את ההיפך שלו, לכל מספר שאינו אפס יש את ההיפוך שלו. ההדדיות של ההדדית היא הזרע.

היפוך מתרחש בכל מקום ששתי כמויות קשורות זו לזו, כך שאם אחת גדלה, השנייה יורדת בקצב מקביל. "רלוונטי" פירושו שהתוצר של כמויות אלו אינו משתנה. אנחנו זוכרים מבית הספר: זה פרופורציה הפוכה. אם אני רוצה להגיע ליעד שלי מהר פי שניים (כלומר לקצץ את הזמן בחצי), אני צריך להכפיל את המהירות שלי. אם נפחו של כלי אטום עם גז מצטמצם פי n, אז הלחץ שלו יגדל פי n.

בחינוך היסודי, אנו מבחינים היטב בין השוואה דיפרנציאלית ויחסית. "כמה עוד"? – "כמה פעמים יותר?"

להלן מספר פעילויות בבית הספר:

משימה 1. מבין שני הערכים החיוביים, הראשון גדול פי 5 מהשני ובו זמנית גדול פי 5 מהראשון. מה המידות?

משימה 2. אם מספר אחד גדול ב-3 מהשני, והשני גדול מהשלישי ב-2, כמה גדול המספר הראשון מהשלישי? אם המספר החיובי הראשון הוא פי שניים מהשני, והמספר הראשון הוא פי שלוש מהשלישי, כמה פעמים המספר הראשון גדול מהשלישי?

משימה 3. במשימה 2, רק מספרים טבעיים מותרים. האם סידור כזה כפי שמתואר שם אפשרי?

משימה 4. מבין שני הערכים החיוביים, הראשון הוא פי 5 מהשני, והשני הוא פי 5 מהראשון. האם זה אפשרי?

המושג "ממוצע" או "ממוצע" נראה פשוט מאוד. אם רכבתי 55 ק"מ ביום שני, 45 ק"מ ביום שלישי ו-80 ק"מ ביום רביעי, בממוצע רכבתי 60 ק"מ ביום. אנחנו מסכימים בלב שלם עם החישובים האלה, למרות שהם קצת מוזרים כי לא נסעתי 60 ק"מ ביום אחד. אנחנו מקבלים באותה קלות את המניות של אדם: אם מאתיים אנשים מבקרים במסעדה תוך שישה ימים, אז התעריף היומי הממוצע הוא 33 ושליש אנשים. HM!

יש בעיות רק עם הגודל הממוצע. אני אוהב רכיבה על אופניים. אז ניצלתי את ההצעה של סוכנות הנסיעות "בואו נלך איתנו" - הם מעבירים מזוודות למלון, שם הלקוח רוכב על אופניים למטרות פנאי. ביום שישי נסעתי ארבע שעות: השתיים הראשונות במהירות של 24 קמ"ש. ואז התעייפתי עד כדי שניים הבאים בקצב של 16 בלבד לשעה. מה הייתה המהירות הממוצעת שלי? כמובן (24+16)/2=20קמ"ש=20קמ"ש.

אולם בשבת השאירו את המזוודות במלון, והלכתי לראות את חורבות הטירה, שנמצאת 24 ק"מ משם, ולאחר שראיתי אותן חזרתי. נסעתי שעה לכיוון אחד, חזרתי לאט יותר, במהירות של 16 ק"מ לשעה. מה הייתה המהירות הממוצעת שלי במסלול מלון-טירה-מלון? 20 ק"מ לשעה? ברור שלא. הרי נסעתי בסך הכל 48 ק"מ ולקח לי שעה ("שם") ושעה וחצי אחורה. 48 ק"מ בשעתיים וחצי, כלומר. שעה 48/2,5=192/10=19,2 ק"מ! במצב זה, המהירות הממוצעת אינה הממוצע האריתמטי, אלא ההרמונית של הערכים הנתונים:

וניתן לקרוא את הנוסחה הדו-קומתית הזו כך: הממוצע ההרמוני של מספרים חיוביים הוא ההדדיות של הממוצע האריתמטי של ההדדיות שלהם. ההדדיות של סכום ההדדיות מופיעה במקהלות רבות של מטלות בית ספר: אם עובד אחד חופר שעות, השני - b שעות, אז, בעבודה משותפת, הם חופרים בזמן. בריכת מים (אחת לשעה, השנייה בשעה בשעה). אם לנגד אחד יש R1 ולשני יש R2, אז יש להם התנגדות מקבילה. 

אם מחשב אחד יכול לפתור בעיה בשניות, מחשב אחר בשניות, אז כשהם עובדים יחד...

תפסיק! כאן מסתיימת האנלוגיה, כי הכל תלוי במהירות הרשת: יעילות החיבורים. עובדים יכולים גם להפריע או לעזור זה לזה. אם אדם אחד יכול לחפור באר בשמונה שעות, האם שמונים עובדים יכולים לעשות זאת ב-1/10 שעה (או 6 דקות)? אם שישה סבלים לוקחים את הפסנתר לקומה הראשונה תוך 6 דקות, כמה זמן ייקח לאחד מהם להעביר את הפסנתר לקומה השישים? האבסורד של בעיות כאלה מעלה לתודעה את הישימות המוגבלת של כל המתמטיקה לבעיות "מהחיים".

על מוכר חזק 

המאזניים אינם בשימוש יותר. נזכיר שעל קערה אחת של מאזניים כאלה הונחה משקל, והסחורה הנשקלת הונחה על השנייה, וכשהמשקל היה בשיווי משקל, אזי הסחורה שקלה כמו המשקל. כמובן ששתי הזרועות של עומס המשקל חייבות להיות באותו אורך, אחרת השקילה תהיה שגויה.

אה נכון. תארו לעצמכם איש מכירות שיש לו משקל עם מינוף לא שווה. עם זאת, הוא רוצה להיות כנה עם הלקוחות ושוקל את הסחורה בשתי קבוצות. ראשית, הוא מניח משקולת על מחבת אחת, ועל השנייה כמות סחורה מתאימה - כך שהקשקשים יהיו מאוזנים. אחר כך הוא שוקל את ה"חצי" השני של הסחורה בסדר הפוך, כלומר מניח את המשקל על הקערה השנייה, ואת הסחורה על הראשונה. מכיוון שהידיים אינן שוות, ה"חציים" לעולם אינם שווים. ומצפונו של המוכר נקי, והקונים משבחים את יושרו: "מה שהסרתי כאן, אז הוספתי".

עם זאת, בואו נסתכל מקרוב על התנהגותו של מוכר שרוצה להיות כנה למרות המשקל המעורער. תן לזרועות האיזון אורכים a ו-b. אם אחת הקערות עמוסה במשקל קילוגרם והשנייה עם x סחורה, אזי המאזניים נמצאים בשיווי משקל אם ax = b בפעם הראשונה ו- bx = a בפעם השנייה. אז, החלק הראשון של הסחורה שווה ל-b / קילוגרם, החלק השני הוא a / b. למשקל טוב יש a = b, כך שהקונה יקבל 2 ק"ג סחורה. בוא נראה מה קורה כאשר a ≠ b. ואז a – b ≠ 0 ומנוסחת הכפל המופחת שיש לנו

הגענו לתוצאה בלתי צפויה: השיטה ההוגנת לכאורה של "מיצוע" את המדידה במקרה זה פועלת לטובת הקונה, שמקבל יותר סחורה.

5 עבודה. (חשוב, בשום אופן לא במתמטיקה!). יתוש שוקל 2,5 מיליגרם, ופיל חמישה טון (אלה נתונים נכונים למדי). חשב את הממוצע האריתמטי, הממוצע הגיאומטרי והממוצע ההרמוני של מסות היתושים והפילים (משקלות). בדוק את החישובים ותראה אם ​​יש בהם משמעות מלבד תרגילי חשבון. בואו נסתכל על דוגמאות אחרות לחישובים מתמטיים שאינם הגיונים ב"חיים האמיתיים". טיפ: כבר הסתכלנו על דוגמה אחת במאמר זה. האם זה אומר שתלמיד אנונימי שמצאתי את דעתו באינטרנט צדקה: "מתמטיקה משטה אנשים במספרים"?

כן, אני מסכים שבגדולה של המתמטיקה, אתה יכול "להטעות" אנשים - כל פרסומת שמפו שנייה אומרת שהיא מגבירה את הפלופריות באחוזים מסוימים. האם נחפש דוגמאות אחרות לכלים יומיומיים שימושיים שיכולים לשמש לפעילות פלילית?

גרם!

הכותרת של קטע זה היא פועל (גוף ראשון רבים) ולא שם עצם (ריבוי שמות של אלפית קילוגרם). הרמוניה מרמזת על סדר ומוזיקה. עבור היוונים הקדמונים, המוזיקה הייתה ענף במדע – יש להודות שאם נאמר זאת, אנו מעבירים את המשמעות הנוכחית של המילה "מדע" לזמן שלפני תקופתנו. פיתגורס חי במאה ה- XNUMX לפני הספירה. לא רק שהוא לא הכיר מחשב, טלפון נייד ודוא"ל, אלא שהוא גם לא ידע מי הם רוברט לבנדובסקי, מיישקו הראשון, קרל הגדול וקיקרו. הוא לא ידע לא ערבית ואפילו לא ספרות רומיות (הן נכנסו לשימוש בסביבות המאה החמישית לפני הספירה), הוא לא ידע מה הן המלחמות הפוניות... אבל הוא ידע מוזיקה...

הוא ידע שבכלי מיתר מקדמי הרטט עומדים ביחס הפוך לאורך החלקים הרוטטים של המיתרים. הוא ידע, הוא ידע, הוא פשוט לא יכול לבטא את זה כמו שאנחנו עושים את זה היום.

התדרים של שני תנודות המיתר המרכיבות אוקטבה הם ביחס של 1:2, כלומר, התדר של הצליל הגבוה פי שניים מהתדר התחתון. יחס הרטט הנכון עבור חמישית הוא 2:3, רביעי הוא 3:4, שלישי מז'ור טהור הוא 4:5, שלישי קטן הוא 5:6. אלו מרווחי עיצורים נעימים. לאחר מכן יש שניים ניטרליים, עם יחסי רטט של 6:7 ו-7:8, ואז דיסוננטים - טון גדול (8:9), טון קטן (9:10). שברים (יחסים) אלה הם כמו היחסים של איברים עוקבים של רצף שמתמטיקאים (בדיוק מסיבה זו) מכנים את הסדרה ההרמונית:

הוא סכום אינסופי מבחינה תיאורטית. את יחס התנודות של האוקטבה אפשר לכתוב כ-2:4 ולשים ביניהן חמישית: 2:3:4, כלומר נחלק את האוקטבה לחמישית ורביעית. זה נקרא חלוקה הרמונית במתמטיקה:

אורז. 1. למוזיקאי: חלוקת האוקטבה AB ל-AC החמישי.למתמטיקאי: פילוח הרמוני

למה אני מתכוון כשאני מדבר (למעלה) על סכום אינסופי מבחינה תיאורטית, כמו הסדרה ההרמונית? מסתבר שסכום כזה יכול להיות כל מספר גדול, העיקר שנוסיף להרבה זמן. יש פחות ופחות מרכיבים, אבל יש יותר ויותר מהם. מה מנצח? כאן אנו נכנסים לתחום הניתוח המתמטי. מסתבר שהמרכיבים מתרוקנים, אבל לא מהר מאוד. אני אראה שעל ידי נטילת מספיק מרכיבים, אני יכול לסכם:

גדול באופן שרירותי. ניקח "לדוגמה" n = 1024. בוא נקבץ את המילים כפי שמוצג באיור:

בכל סוגריים, כל מילה גדולה מהקודמת, מלבד, כמובן, האחרונה, ששווה לעצמה. בסוגריים הבאים, יש לנו 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ו-512 רכיבים; הערך של הסכום בכל סוגריים גדול מ-½. כל זה הוא יותר מ-5½. חישובים מדויקים יותר יראו שסכום זה הוא בערך 7,50918. לא הרבה, אבל תמיד, ואתה יכול לראות שאם אני לוקח n גדול, אני יכול להשיג ביצועים טובים יותר מכל מספר. הצמיחה האיטית להפליא הזו (למשל, אנחנו מובילים בעשירייה עם מרכיבים בלבד), אבל הצמיחה האינסופית תמיד ריתקה מתמטיקאים.

מסע אל האינסוף עם הסדרה ההרמונית

הנה חידה למתמטיקה די רצינית. יש לנו היצע בלתי מוגבל של בלוקים מלבניים (מה אני יכול לומר, מלבניים!) עם מידות, נגיד, 4 × 2 × 1. חשבו על מערכת המורכבת מכמה (על תאנה. 2 - ארבעה) בלוקים, מסודרים כך שהראשון נוטה ב-½ מאורכו, השני מלמעלה ב-¼ וכן הלאה, השלישי בשישית. ובכן, אולי כדי שזה יהיה ממש יציב, בואו נטה את הלבנה הראשונה קצת פחות. זה לא משנה לחישובים.

אורז. 2. קביעת מרכז הכובד

קל גם להבין שמכיוון שלדמות המורכבת משני הגושים הראשונים (הספירה מלמעלה) יש מרכז סימטריה בנקודה B, אז B הוא מרכז הכובד. הבה נגדיר בצורה גיאומטרית את מרכז הכובד של המערכת, המורכב משלושת הגושים העליונים. מספיק כאן טיעון פשוט מאוד. בואו נחלק מנטלית את הרכב שלושת הבלוקים לשניים עליונים ושלישי תחתון. מרכז זה חייב להיות ממוקם על הקטע המחבר את מרכזי הכובד של שני החלקים. באיזה שלב בפרק הזה?

יש שתי דרכים לייעד. בראשון, נשתמש בתצפית שמרכז זה חייב להיות ממוקם באמצע הפירמידה בת שלושת הגושים, כלומר על קו ישר החותך את הבלוק השני, האמצעי. בדרך השנייה, אנו מבינים שמכיוון שלשני הבלוקים העליונים יש מסה כוללת של כפול מזה של גוש בודד מס' 3 (למעלה), מרכז הכובד בקטע זה חייב להיות קרוב פי שניים ל-B מאשר למרכז. S של הבלוק השלישי. באופן דומה, אנו מוצאים את הנקודה הבאה: אנו מחברים את המרכז המצוי של שלושת הגושים עם המרכז S של הבלוק הרביעי. מרכז המערכת כולה נמצא בגובה 2 ובנקודה המחלקת את הקטע ב-1 ל-3 (כלומר ב-¾ מאורכו).

החישובים שנבצע קצת יותר מובילים לתוצאה המוצגת באיור. rys. חָמֵשׁ. מרכזי כובד עוקבים מוסרים מהקצה הימני של הבלוק התחתון על ידי:

לפיכך, הקרנת מרכז הכובד של הפירמידה נמצאת תמיד בתוך הבסיס. המגדל לא יתהפך. עכשיו בואו נסתכל על תאנה. 3 ולרגע, בואו נשתמש בבלוק החמישי מלמעלה כבסיס (זה המסומן בצבע הבהיר יותר). נוטה למעלה:

לפיכך, הקצה השמאלי שלו רחוק ב-1 מהקצה הימני של הבסיס. הנה הנדנדה הבאה:

מהי הנדנדה הכי גדולה? אנחנו כבר יודעים! אין הכי גדול! אם לוקחים אפילו את הבלוקים הקטנים ביותר, אתה יכול לקבל תוספת של קילומטר אחד - למרבה הצער, רק מתמטית: כל כדור הארץ לא יספיק לבנות כל כך הרבה בלוקים!

אורז. 3. הוסף בלוקים נוספים

עכשיו החישובים שהשארנו למעלה. נחשב את כל המרחקים "אופקי" על ציר ה-x, כי זה כל מה שיש. נקודה A (מרכז הכובד של הבלוק הראשון) נמצאת 1/2 מהקצה הימני. נקודה B (המרכז של מערכת שני הגושים) נמצאת במרחק של 1/4 מהקצה הימני של הבלוק השני. תנו לנקודת ההתחלה להיות סוף הבלוק השני (עכשיו נעבור לשלישי). לדוגמה, היכן נמצא מרכז הכובד של בלוק בודד מס' 3? חצי מאורך הבלוק הזה, אם כן, הוא 1/2 + 1/4 = 3/4 מנקודת הייחוס שלנו. איפה נקודה C? בשני שליש מהקטע בין 3/4 ל-1/4, כלומר בנקודה שלפני, אנו משנים את נקודת ההתייחסות לקצה הימני של הבלוק השלישי. מרכז הכובד של מערכת שלושת הבלוקים מוסר כעת מנקודת הייחוס החדשה, וכן הלאה. מרכז הכובד ג_n מגדל המורכב מ-n בלוקים נמצא במרחק של 1/2n מנקודת ההתייחסות המיידית, שהיא הקצה הימני של בלוק הבסיס, כלומר הבלוק ה-n מלמעלה.

מכיוון שסדרת ההדדיות מתפצלת, אנו יכולים לקבל כל וריאציה גדולה. האם זה באמת יכול להיות מיושם? זה כמו מגדל לבנים אינסופי - במוקדם או במאוחר הוא יקרוס תחת משקלו. בתכנית שלנו, אי הדיוקים המינימליים בהצבת הבלוקים (והעלייה האיטית בסכומים חלקיים של הסדרה) גורמים לכך שלא נגיע רחוק.