משוואות, קודים, צפנים, מתמטיקה ושירה

מיכל שורק מספרת על עצמה: "נולדתי ב-1946. סיימתי את לימודיי באוניברסיטת ורשה ב-1968 ומאז אני עובד בפקולטה למתמטיקה, אינפורמטיקה ומכניקה. התמחות מדעית: גיאומטריה אלגברית. לאחרונה עסקתי בחבילות וקטוריות. מהי אלומה וקטורית? אז, הווקטורים צריכים להיות קשורים בחוט, וכבר יש לנו חבורה. ידידי הפיזיקאי אנתוני סים גרם לי להצטרף לטכנאי הצעיר (הוא מודה שהוא צריך לקבל תמלוגים מהשכר שלי). כתבתי כמה מאמרים ואז נשארתי, ומאז 1978 אפשר לקרוא כל חודש מה אני חושב על מתמטיקה. אני אוהב הרים ולמרות עודף משקל, אני מנסה ללכת. אני חושב שהמורים הם הכי חשובים. הייתי מחזיק פוליטיקאים, יהיו האפשרויות אשר יהיו, באזור שמור מאוד כדי שלא יוכלו לברוח. להאכיל פעם ביום. ביגל מטולק מחבב אותי.

משוואה היא כמו צופן למתמטיקאי. פתרון משוואות, המהות של המתמטיקה, הוא קריאת טקסט צופן. תיאולוגים הבחינו בכך מאז המאה ה- XNUMX. יוחנן פאולוס השני, שידע מתמטיקה, כתב והזכיר זאת מספר פעמים בדרשותיו – לצערי, העובדות נמחקו מזיכרוני.

במדעי בית הספר, זה מיוצג פיתגורס כמחבר המשפט על תלות כלשהי במשולש ישר זווית. אז זה הפך לחלק מהפילוסופיה האירוצנטרית שלנו. ובכל זאת לפיתגורס יש הרבה יותר מעלות. הוא זה שהטיל על תלמידיו את החובה "להכיר את העולם", מתוך "מה יש מאחורי הגבעה הזאת?" לפני לימוד הכוכבים. לכן האירופים "גילו" תרבויות עתיקות, ולא להיפך.

חלק מהקוראים זוכריםדפוסי Vièteו"; קוראים מבוגרים רבים זוכרים את המונח עצמו מבית הספר ובערך את העובדה שהשאלה הופיעה במשוואות ריבועיות. הקביעות הללו הן "מבחינה אידיאולוגית" הצפנה מידע.

לא פלא אחד פרנסואה וייט (1540-1603) עסק בקריפטוגרפיה בחצרו של הנרי הרביעי (המלך הצרפתי הראשון משושלת בורבון, 1553-1610) והצליח לשבור את הצופן שבו השתמשו הבריטים במלחמה עם צרפת. אז הוא מילא את אותו תפקיד כמו המתמטיקאים הפולנים (בהנהגת מריאן רייבסקי), שגילו את סודות מכונת ההצפנה הגרמנית אניגמה לפני מלחמת העולם השנייה.

נושא אופנה

בְּדִיוּק. הנושא "קודים וצפנים" הפך מזמן לאופנתי בהוראה. כבר כתבתי על זה כמה פעמים, ובעוד חודשיים תהיה סדרה נוספת. הפעם אני כותב בהתרשמות של סרט על מלחמת 1920, שבה הניצחון נבע בעיקר משבירת הקוד של הכוחות הבולשביקים על ידי צוות בראשות הצעירים דאז. ואצלב סרפינסקי (1882-1969). לא, זו עדיין לא אניגמה, זו רק הקדמה. אני זוכרת סצנה מהסרט שבה יוזף פילסודסקי (בגילומו של דניל אולבריקסקי) אומר לראש מחלקת הצפנים:

המסרים המפוענחים נשאו מסר חשוב: חיילי טוכצ'בסקי לא יקבלו תמיכה. אתה יכול לתקוף!

הכרתי את ואצלב סיירפינסקי (אם יורשה לי לומר כך: הייתי סטודנט צעיר, הוא היה פרופסור מפורסם), השתתף בהרצאותיו ובסמינרים שלו. הוא עשה רושם של מלומד קמל, נעדר נפש, עסוק במשמעת שלו ולא רואה את העולם האחר. הוא הרצה במיוחד, מול הלוח, לא מסתכל על הקהל... אבל הוא הרגיש כמו מומחה יוצא דופן. כך או אחרת, היו לו יכולות מתמטיות מסוימות - למשל, לפתרון בעיות. יש אחרים - מדענים שהם גרועים יחסית בפתרון חידות, אבל יש להם הבנה עמוקה של כל התיאוריה ומסוגלים ליזום תחומים שלמים של יצירתיות. אנחנו צריכים את שניהם - אם כי הראשון ינוע מהר יותר.

ואצלב סיירפינסקי מעולם לא דיבר על הישגיו ב-1920. עד 1939, זה בהחלט היה צריך להישמר בסוד, ואחרי 1945, אלה שלחמו עם רוסיה הסובייטית לא נהנו אהדת השלטונות דאז. האמונה שלי שצריך מדענים, כמו צבא, מוכחת: "למקרה". הנה הנשיא רוזוולט קורא לאיינשטיין:

המתמטיקאי הרוסי המצטיין איגור ארנולד אמר בגלוי ובעצב שלמלחמה הייתה השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה והפיסיקה (למכ"ם ול-GPS היה גם מקור צבאי). אני לא נכנס להיבט המוסרי של השימוש בפצצת האטום: הנה הארכת המלחמה לשנה ומותם של כמה מיליוני חיילים משלהם - יש סבל של אזרחים חפים מפשע.

***

אני בורח לאזורים מוכרים - ק. רבים מאיתנו שיחקנו עם הקודים, אולי בסקאוטינג, אולי סתם ככה. צפנים פשוטים, המבוססים על העיקרון של החלפת אותיות באותיות אחרות או מספרים אחרים, נשברים באופן שגרתי אם אנו קולטים רק כמה רמזים (לדוגמה, אנו מנחשים את שם המלך). ניתוח סטטיסטי עוזר גם היום. גרוע מכך, כשהכל ניתן לשינוי. אבל הדבר הגרוע ביותר הוא כשאין סדירות. שקול את הקוד המתואר בהרפתקאות החייל הטוב שווייק. קח ספר, למשל, המבול. להלן ההצעות בעמוד הראשון והשני.

אנחנו רוצים לקודד את המילה "CAT". נפתח בעמוד 1 ובשנייה הבאה. אנו מוצאים שבעמוד 1 מופיעה לראשונה האות K במקום ה-59. אנו מוצאים את המילה החמישים ותשע בצד השני, בצד השני. זו מילה "א". כעת האות O. משמאל היא המילה ה-16, והשש-עשרה מימין היא "מר". האות T נמצאת במקום ה-95, אם ספרתי נכון, והמילה התשעים וחמש מימין היא "o". אז, CAT = 1 LORD O.

צופן "בלתי ניתן לניחוש", אם כי איטי עד כאב הן להצפנה והן... לניחוש. נניח שאנו רוצים להעביר את האות M. נוכל לבדוק אם אנו מקודד אותה במילה "Wołodyjowski". ואחרינו כבר מכינים תא כלא. אנחנו יכולים לסמוך רק על תחליף! בנוסף, מודיעין נגדי מציין דיווחים על עובדים סודיים שמזה זמן מה לקוחות קונים ברצון את הכרך הראשון של המבול.

המאמר שלי הוא תרומה לתזה זו: אפילו הרעיונות המוזרים ביותר של מתמטיקאים יכולים למצוא יישום בפרקטיקה מובנת רחבה. למשל, האם ניתן לדמיין תגלית מתמטית פחות שימושית מהקריטריון לחלוקה...ב-47?

מתי אנחנו צריכים את זה בחיים? ואם כן, יהיה קל יותר לנסות להפריד אותו. אם זה מתחלק, אז זה טוב, אם לא, אז ... שנית זה טוב (אנחנו יודעים שזה לא מתחלק).

איך לשתף ולמה

לאחר ההקדמה הזו, נעבור ל: האם אתם הקוראים מכירים סימנים של חלוקה? בהחלט. מספרים זוגיים מסתיימים ב-2, 4, 6, 8 או אפס. מספר מתחלק בשלוש אם סכום הספרות שלו מתחלק בשלוש. באופן דומה, עם סימן ההתחלקות בתשע - סכום הספרות חייב להיות מתחלק בתשע.

מי צריך את זה? אשקר אם אשכנע את הקורא שהוא טוב לכל דבר מלבד... מטלות בית ספר. ובכן, ועוד תכונה של חלוקה ב-4 (ומה זה, קורא? אולי תשתמש בזה כשתרצה לדעת באיזו שנה חלה האולימפיאדה הבאה...). אבל תכונת ההתחלקות ב-47? זה כבר כאב ראש. האם אי פעם נדע אם משהו מתחלק ב-47? אם כן, אז קח מחשבון ותראה.

זֶה. אתה צודק, קורא. ובכל זאת, המשך לקרוא. אנא.

חלוקה לפי 47: המספר 100+ מתחלק ב-47 אם ורק אם 47 מתחלק ב-+8.

המתמטיקאי יחייך בסיפוק: "אה, יפה." אבל מתמטיקה היא מתמטיקה. הראיות חשובות, ואנחנו שמים לב ליופי שלה. איך להוכיח את התכונה שלנו? זה מאוד פשוט. הורידו מ-100 + המספר 94 - 47 = 47 (2 -). נקבל 100+-94+47=6+48=6(+8).

הורדנו מספר שמתחלק ב-47, כך שאם 6 (+ 8) מתחלק ב-47, אז גם 100+. אבל המספר 6 הוא ראשוני יחסית ל-47, כלומר 6 (+ 8) מתחלק ב-47 אם ורק אם הוא + 8. סוף ההוכחה.

בוא נראה כמה דוגמאות.

8805685 מתחלק ב-47? אם זה באמת מעניין אותנו, נגלה זאת מוקדם יותר רק על ידי חלוקתנו כמו שלימדו אותנו בבית הספר היסודי. כך או אחרת, עכשיו יש מחשבון בכל טלפון נייד. מחולק? כן, פרטי 187355.

ובכן, בואו נראה מה סימן ההתחלקות אומר לנו. אנו מנתקים את שתי הספרות האחרונות, מכפילים אותן ב-8, מוסיפים את התוצאה ל"מספר הקטוע" ועושים את אותו הדבר עם המספר המתקבל.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

אנו רואים ש-94 מתחלק ב-47 (המנה היא 2), מה שאומר שגם המספר המקורי מתחלק. בסדר גמור. אבל מה אם נמשיך להנות?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

עכשיו אנחנו חייבים להפסיק. ארבעים ושבע מתחלק ב-47, נכון?

האם באמת צריך להפסיק? מה אם נלך רחוק יותר? אלוהים אדירים, הכל יכול לקרות... אני אשמיט את הפרטים. אולי רק ההתחלה:

47 → 0 + 8 * 47 = 376 → 3 + 8 * 76 = 611 → 6 + 8 * 11 = 94 → 0 + 8 * 94 = 752.

אבל, למרבה הצער, זה ממכר כמו לעיסת זרעים ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

אה, ארבעים ושבע. זה קרה בעבר. מה הלאה? . אותו. המספרים הולכים בלולאה כזו:

זה באמת מעניין. כל כך הרבה לולאות.

שניים הדוגמאות הבאות.

אנחנו רוצים לדעת אם 10017627 מתחלק ב-47. למה אנחנו צריכים את הידע הזה? אנו זוכרים את העיקרון: אוי לידע שאינו עוזר ליודע. ידע תמיד שם בשביל משהו. זה יהיה בשביל משהו, אבל עכשיו אני לא אסביר. עוד כמה חשבונות:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"הוא שינה את דודו מגרזן למקל". מה אנחנו מקבלים מכל זה?

ובכן, בואו נחזור על מהלך ההליכים. כלומר, נמשיך לעשות זאת (כלומר, המילה "איטרט").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

בוא נעצור את המשחק, נחלק כמו בבית ספר (או במחשבון): 235 = 5 47. בינגו. המספר המקורי 10017627 מתחלק ב-47.

כל הכבוד!

מה אם נלך רחוק יותר? תאמין לי, אתה יכול לבדוק את זה.

ועוד עובדה מעניינת. אנחנו רוצים לבדוק אם 799 מתחלק ב-47. אנחנו משתמשים בפונקציית ההתחלקות. אנו מנתקים את שתי הספרות האחרונות, מכפילים את המספר המתקבל ב-8 ומוסיפים למה שנשאר:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

מה יש לנו? האם 799 מתחלק ב-47 אם ורק אם 799 מתחלק ב-47? כן, זה נכון, אבל לא צריך מתמטיקה בשביל זה!!! השמן שמן (לפחות השמן הזה שמן).

על העלה, הפיראטים וסוף הבדיחות!

עוד שני סיפורים. איפה הכי טוב להסתיר עלה? התשובה ברורה: ביער! אבל איך אתה יכול למצוא את זה אז?

את השניה אנחנו מכירים מספרים על פיראטים שקראנו מזמן. הפיראטים הכינו מפה של המקום שבו קברו את האוצר. אחרים גנבו אותו או ניצחו בקרב. אבל המפה לא ציינה לאיזה אי היא מיועדת. וחפש את עצמך! כמובן שהפיראטים התמודדו עם זה (עינויים) – גם את הצפנים שאני מדבר עליהם אפשר לחלץ בשיטות כאלה.

סוף בדיחות. קוֹרֵא! אנחנו יוצרים צופן. אני מרגל סמוי ומשתמש ב"טכנאי זוטר" בתור תיבת הקשר שלי. העבר לי הודעות מוצפנות באופן הבא.

ראשית, המר את הטקסט למחרוזת מספרים באמצעות הקוד: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

כפי שאתה יכול לראות, אנחנו לא משתמשים בדיאקריטיות פולניות (כלומר בלי ą, ę, ć, ń, ó, ś) ו-q, v לא פולני - אבל ה-x הלא פולני קיים לכל מקרה. בואו נכלול עוד 25 כרווח (רווח בין מילים). הו, הדבר הכי חשוב. נא להחיל קוד מס' 47.

אתה יודע מה זה אומר. אתה הולך לחבר מתמטיקאי.

עיניו של החבר נפערו בהפתעה.

אתה עונה בגאווה:

מתמטיקאי מעניק לך את התכונה הזו... ואתה כבר יודע שפונקציה לא בולטת למראה משמשת להצפנה

כי דפוס כזה הוא פעולה מתוארת

100 + → + 8.

לכן, כאשר אתה רוצה לדעת מה אומר מספר, כמו 77777777 בהודעה מוצפנת, אתה משתמש בפונקציה

100 + → + 8

עד שתקבל מספר בין 1 ל-25. כעת תסתכל על הקוד האלפאנומרי המפורש. בוא נראה: 77777777 →... אני משאיר את זה לך כמשימה. אבל בואו נראה איזו אות 48 מסתירה? בוא נקרא:

48 → 0 + 8 48 = 384.

ואז אנחנו מקבלים בתורו:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

הסוף לא נראה באופק. רק לאחר הזמן השישים (!) יופיע מספר קטן מ-25. זהו 3, כלומר 48 היא האות C.

ומה המסר הזה נותן לנו? (אני רוצה להזכיר לך שאנחנו משתמשים בקוד מספר 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 1234567.

ובכן, תחשוב על זה, מה כל כך מסובך, כמה חשבונות. התחלנו. תחילת 80. כלל ידוע:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

זה ממשיך כך:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

לאכול! האות הראשונה של ההודעה היא ק.פי, קל, אבל כמה זמן זה ייקח?

בואו נראה גם כמה צרות יש לנו עם המספר 1234567. רק בפעם השישה עשרה נקבל מספר קטן מ-25, כלומר 12. אז 1234567 הוא L.

אוקיי, אפשר לומר, אבל פעולת החשבון הזו כל כך פשוטה שתכנות אותה במחשב ישבור מיד את הקוד. כן זה נכון. אלו חישובים פשוטים של מחשב. רעיון עם צופן ציבורי וזה גם על להקשות על החישובים עבור המחשב. תן לזה לעבוד לפחות מאה שנים. האם הוא יפענח את ההודעה? לא משנה. זה לא ישנה להרבה זמן. זה (פחות או יותר) מה שעוסק בצפנים ציבוריים. הם יכולים להישבר אם אתה עובד הרבה מאוד זמן... עד שהחדשות כבר לא רלוונטיות.

 זה תמיד הוליד "נשק נגד". הכל התחיל בחרב ומגן. השירותים החשאיים משלמים סכומי כסף עצומים למתמטיקאים מחוננים כדי להמציא שיטות הצפנה שמחשבים (כולל אלה שנוצרו על ידינו) לא יוכלו לפצח במאה ה- XNUMX.

המאה העשרים ושתיים? זה לא כל כך קשה לדעת שיש כבר הרבה אנשים בעולם שיחיו במאה היפה הזו!

אה אה? מה אם אבקש (ממני, הקצין החשאי ש"הטכנאי הצעיר" פנה אליו) להצפין בקוד מספר 23? או 17? פָּשׁוּט:

אולי לעולם לא נצטרך להשתמש במתמטיקה למטרות כאלה.

***

כותרת המאמר עוסקת בשירה. מה היא קשורה לזה?

כמו מה? שירה גם מצפינה את העולם.

איך?

לפי השיטות שלהם - בדומה לאלגבריות.