פרס אבליה
מעטים מהקוראים שיגידו משהו על השם הבל. לא, זה לא על הצעיר האומלל שנהרג על ידי אחיו קין. אני מתכוון למתמטיקאי הנורווגי נילס הנריק אבל (1802–1829) ולפרס הקרוי על שמו אשר הוענק זה עתה (16 במרץ 2016) על ידי האקדמיה הנורבגית למדעים ומכתבים לסר אנדרו ג'יי ווילס. זה מפצה את המתמטיקאים על שהותרו על ידי אלפרד נובל בדירוג הקטגוריות של פרס המדע החשוב בעולם.
למרות שמתמטיקאים מעריכים את מה שנקרא. מדליית פילדס (רשמית נחשבת לדפנה הגבוהה בתחומה), היא מזוהה עם 15 אלף בלבד. (לא מיליונים, אלפים!) של דולרים קנדיים עד הזוכה פרסי הבל מכניס לכיסו צ'ק בסך 6 מיליון קרונות נורבגיות (כ-750 8 יורו). חתני פרס נובל מקבלים 865 מיליון SEK, או כ- XNUMX אלף. יורו - פחות משחקני טניס על זכייה בטורניר גדול. ישנן מספר סיבות אפשריות לכך שאלפרד נובל לא כלל מתמטיקאים בין הזוכים האפשריים בפרס. צוואתו של נובל עסקה ב"המצאות ותגליות" שמביאות את התועלת הגדולה ביותר לאנושות, אבל כנראה לא תיאורטית, אלא מעשית. מתמטיקה לא נחשבה למדע שיכול להביא תועלת מעשית לאנושות.
למה הבל
מי היה נילס הנריק אבל ואיך הוא התפרסם? הוא בוודאי היה מבריק, כי למרות שמת משחפת בגיל 27 בלבד, היה לו מקום קבוע במתמטיקה. ובכן, כבר בחטיבת הביניים מלמדים אותנו לפתור משוואות; תחילה תואר ראשון, אחר כך מרובע ולפעמים מעוקב. כבר לפני ארבע מאות שנה, מדענים איטלקים הצליחו להתמודד עם משוואה קוורטיתאפילו זה שנראה תמים:
ומאיזה אחד המרכיבים
כן, מדענים יכלו לעשות זאת כבר במאה ה- XNUMX. לא קשה לנחש שנלקחו בחשבון משוואות של מעלות גבוהות יותר. וכלום. אף אחד לא הצליח במאתיים שנה. גם נילס אבל נכשל. ואז הוא הבין ש... אולי זה בכלל לא אפשרי. ניתן להוכיח זאת חוסר האפשרות לפתור משוואה כזו - או יותר נכון, ביטוי הפתרון בנוסחאות אריתמטיות פשוטות.
זה היה הראשון מבין 2. שנים (!) של חשיבה מסוג זה: אי אפשר להוכיח משהו, אי אפשר לעשות משהו. המונופול על הוכחות כאלה שייך למתמטיקה – המדעים המעשיים שוברים מחסומים יותר ויותר. בשנת 1888, הכריז יו"ר ועדת הפטנטים האמריקאית כי "יש לצפות להמצאות מעטות בעתיד, כי כמעט הכל כבר הומצא". היום קשה לנו אפילו לצחוק על זה... אבל במתמטיקה, ברגע שהוכח, זה אבוד. אי אפשר לעשות את זה.
ההיסטוריה מחלקת בין התגלית שתיארתי נילס אבל i אווריסטה גלואה, שניהם נפטרו לפני גיל XNUMX, בחוסר הערכתם של בני דורם. נילס אבל הוא אחד המתמטיקאים הנורבגים הבודדים עם תהילה רחבה (למעשה שניים, השני כן סופוס לי, 1842-1899 - שמות המשפחה אינם נשמעים סקנדינביים, אך שניהם היו נורבגים ילידים).
הנורבגים מסוכסכים עם השוודים - למרבה הצער, זה נפוץ בקרב עמים שכנים. אחד המניעים להקמת פרס הבל על ידי הנורבגים היה הרצון להראות לבני ארצם אלפרד נובל: בבקשה, אנחנו לא יותר גרועים.
רודף אחרי כניסת שוליים לא קיימת
הנה נילס הנריק אבל בשבילך. עכשיו לגבי הזוכה בפרס, אנגלי בן 63 (חי בארה"ב). את ההישג שלו ב-1993 אפשר היה להשוות רק לטיפוס על האוורסט, טיפוס על הירח או משהו כזה. מי זה אדוני אנדרו ווילס? אם תסתכל ברשימת הפרסומים שלו ובמדדים השונים של הציטוטים האפשריים, הוא יהיה מדען טוב - יש אלפים כאלה. עם זאת, הוא נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים. המחקר שלו מתייחס לתורת המספרים ומשתמש בקשרים עם גיאומטריה אלגברית אורז תורת הייצוג.
הוא התפרסם בזכות פתרון בעיה שהייתה חסרת משמעות לחלוטין מנקודת המבט של המתמטיקה הוכחה למשפט האחרון של פרמה (מי שלא יודע מה קורה - להזכירך למטה). עם זאת, הערך האמיתי לא היה הפתרון עצמו, אלא יצירת שיטת בדיקה חדשה ששימשה לפתרון בעיות חשובות רבות אחרות.
אי אפשר שלא להרהר בשלב זה על חשיבותם של עניינים מסוימים, על ההיררכיה של ההישגים האנושיים. מאות אלפי צעירים חולמים לבעוט בכדור טוב יותר מאחרים, עשרות אלפים רוצים לחשוף את עצמם לרוחות ההימלאיה, לקפוץ גומי על גשר, להשמיע קולות שהם קוראים להם שירה, לדחוף לאחרים אוכל לא בריא... או לפתור. משוואה מיותרת לכל אחד. הכובש הראשון של הר האוורסט, סר אדוארד הילרי, ענה ישירות על השאלה מדוע הוא נסע לשם: "כי הוא, כי האוורסט הוא!" מחבר המילים הללו היה מתמטיקאי כל חייו, זה היה המתכון שלי לחיים. היחיד הנכון! אבל בואו נסיים עם הפילוסופיה הזו. בואו נחזור לדרך הבריאה של המתמטיקה. למה כל המהומה על המשפט של פרמה?
אני מניח שכולנו יודעים מה הם מספרים ראשוניים. בוודאי כולם מבינים את הביטוי "להתפרק לגורמים ראשוניים", במיוחד כאשר הבן שלנו הופך שעונים לחלקים.
פייר דה פרמה (1601-1665) היה עורך דין מטולוז, אך הוא עסק גם במתמטיקה חובבנית ועם תוצאות טובות למדי, משום שנכנס להיסטוריה של המתמטיקה כמחברם של משפטים רבים של תורת המספרים וניתוח המספרים. הוא נהג להכניס את דבריו והערותיו בשולי הספרים שקרא. ובדיוק - בסביבות 1660, הוא כתב באחד השוליים:
הנה פייר דה פרמה בשבילך. מאז תקופתו (והרשו לי להזכיר לכם שאציל גסקון האמיץ ד'ארטניאן חי באותה תקופה בצרפת, ובפולין נלחם אנדז'יי קמיטיץ' עם בוהוסלב רדזיוויל), מאות, ואולי אפילו אלפי מתמטיקאים גדולים וקטנים ניסו לשחזר ללא הצלחה. ההיגיון האבוד של חובבן מבריק. למרות שהיום אנחנו בטוחים שההוכחה של פרמה לא יכולה להיות נכונה, זה היה מעצבן שהשאלה הפשוטה האם משוואה xn + yn = דn, n> 2 יש פתרונות במספרים טבעיים? יכול להיות כל כך קשה.
רבים מהמתמטיקאים שהגיעו לעבודה ב-23 ביוני 1993, מצאו בדואר האלקטרוני שלהם (שהיה אז המצאה טרייה ועדיין חמה) מסר לקוני: "שמועות מבריטניה: ווילס מוכיחה את פרמה". למחרת כתבה על כך העיתונות היומית, והאחרונה בסדרת ההרצאות של וילס אספה את העיתונות, הטלוויזיה וצלמי העיתונות - ממש כמו בכנס של כדורגלן מפורסם.
כל מי שקרא את "שטן מכיתה ז'" מאת קורנל מקושינסקי זוכר בוודאי מה עשה מר איבו גסובסקי, אחיו של הפרופסור להיסטוריה, שאת מערכת החקירה שלו לתלמידים גילתה עדה ציסובסקי. איוו גסובסקי פתר את משוואת פרמה, איבד זמן, רכוש והזניח את הבית:
בסופו של דבר, הבין מר איבו שהצעות החוק על הסמכויות לא יבטיחו את אושרה של המשפחה והוא ויתר. מקושינסקי לא אהב מדע, אבל הוא צדק לגבי מר גסוסקי. איבו גסובסקי עשה טעות מהותית אחת. הוא לא ניסה להיות מומחה במובן הטוב של המילה, אלא התנהג כמו חובבן. אנדרו ווילס הוא מקצוען.
סיפור המאבק נגד המשפט האחרון של פרמה מעניין. ניתן לראות בפשטות שמספיק לפתור אותם עבור מעריכים שהם מספרים ראשוניים. עבור n = 3 הפתרון ניתן בשנת 1770. לאונרד אוילר, עבור n = 5 – פיטר גוסטב לז'ונה דיריכלה (1828) ו אדריאן מארי לג'נדר בשנת 1830, וב-n = 7 – גבריאל לאם בשנת 1840. במאה ה- XNUMX, המתמטיקאי הגרמני הקדיש את רוב מרצו לבעיה של פרמה ארנסט אדוארד קאמר (1810-1893). למרות שהוא לא השיג הצלחה סופית, הוא הוכיח הרבה מאוד מקרים מיוחדים וגילה תכונות חשובות רבות של מספרים ראשוניים. חלק ניכר מהאלגברה המודרנית, האריתמטיקה התיאורטית ותורת המספרים האלגברית חייבת את מקורה לעבודתו של קאמר על משפט פרמה.
כשפתרו את הבעיה של פרמה בשיטות של תורת המספרים הקלאסית, הם חולקו לשני מקרים שונים של מורכבות: הראשון, כאשר אנו מניחים שהמכפלה xyz הוא ראשוני עם מעריך n, והשני, כאשר המספר z מתחלק שווה בשווה ב- מַעֲרִיך. במקרה השני, היה ידוע שאין פתרונות עד n = 150, ובמקרה הראשון עד n = 000 (להמר, 6). המשמעות היא שדוגמה נגדית אפשרית תהיה בלתי אפשרית בכל מקרה: זה ידרוש שטרות של מיליארדי ספרות כדי להשיג אותה.
הנה סיפור ישן בשבילך. בתחילת 1988, זה היה ידוע בעולם המתמטי יואיצ'י מיאוקה הוכיח אי-שוויון כלשהו, וממנו זה נובע מהדברים הבאים: אם רק המעריך n גדול מספיק, אז למשוואה של פרמה אין פתרונות. בהשוואה לתוצאה המוקדמת מעט יותר של הגרמנית גרד פלטינגס (1983) התוצאה של Miyaoka פירושה שאם יש פתרונות, אז (במונחים של מידתיות) יש רק מספר סופי מהם. לפיכך, פתרון הבעיה של פרמה מצטמצם לרישום סופם של מקרים רבים. למרבה הצער, כמה מהם לא היו ידועים: השיטות שבהן השתמש מיאוקה לא אפשרו הערכה כמה כבר היו "בסדר".
כאן המקום לציין כי במשך שנים רבות מחקר משפט פרמה בוצע לא במסגרת תורת המספרים הטהורה, אלא במסגרת הגיאומטריה האלגברית, דיסציפלינה מתמטית שמקורה באלגברה והרחבה של הגיאומטריה האנליטית הקרטזית, וכעת. מתפשט כמעט לכל מקום: מיסודות המתמטיקה (תיאוריית טופוי בלוגיקה), דרך ניתוח מתמטי (שיטות קוהומולוגיות, אלומות פונקציונליות), גיאומטריה קלאסית, ועד לפיזיקה תיאורטית (צרורות וקטורים, מרחבי טוויסטורים, סוליטון).
כשלא אכפת לכבוד
קשה גם שלא להיות עצוב על גורלו של המתמטיקאי, שתרומתו לפתרון הבעיה של פרמה משמעותית ביותר. אני מדבר על ערקיאלסורן יורייביץ' ארקלוב, מתמטיקאי אוקראיני עם שורשים ארמניים), שבתחילת שנות ה-80, כשהיה בשנתו הרביעית, יצר את מה שנקרא. תורת הצמתים על זנים אריתמטיים. משטחים כאלה מלאים חורים ופגמים, והקימורים עליהם יכולים לפתע להיעלם, ואז להופיע שוב. תורת החיתוך מסבירה כיצד לחשב את מידת החיתוך של עקומות כאלה. זה היה הכלי העיקרי ששימשו את פלטינגס ומיאוקה בעבודתם על הבעיה של פרמה.
פעם אחת הוזמן ארקלוב להציג את תוצאותיו בקונגרס מתמטי גדול. אולם מכיוון שהיה ביקורתי על המערכת הסובייטית, נדחתה ממנו רשות לעזוב. עד מהרה הוא גויס לצבא. הוא הוכיח בהתרסה שהוא נגד שירות צבאי באופן כללי מסיבות פציפיסטיות. כפי שנודע לי ממקורות מפוקפקים למדי, הוא נשלח לכאורה לבית חולים פסיכיאטרי סגור, שם שהה כשנה. כידוע, כנראה למטרות פוליטיות, פסיכיאטרים סובייטים הצביעו על סוג מיוחד של סכיזופרניה (באנגלית מ, שפירושו "איטי", ברוסית סכיזופרניה איטית).
קשה לומר במאה אחוז איך זה באמת היה, כי מקורות המידע שלי לא מאוד אמינים. ככל הנראה, לאחר שעזב את בית החולים, בילה ארקלוב מספר חודשים במנזר בזגורסק. כיום הוא מתגורר במוסקבה עם אשתו ושלושת ילדיו. הוא לא עושה מתמטיקה. אנדרו ווילס מלא בהצטיינות ובכסף.
גם מנקודת מבטה של חברה אירופית מזוינת היטב, הצעד אינו מובן גריגורי פרלמן, שב-2002 פתר את הבעיה הטופולוגית המפורסמת ביותר של המאה ה-XNUMX",השערת פוינאריואז הוא דחה את כל הפרסים האפשריים. תחילה מדליית פילדס, שהוזכרה בהתחלה, שמתמטיקאים רואים בה שווה ערך לפרס נובל, ולאחר מכן פרס מיליון הדולר על פתרון אחת משבע הבעיות המתמטיות החשובות ביותר שנותרו מהמאה העשרים. "אחרים היו טובים יותר, לא אכפת לי מכובדים, כי מתמטיקה זה התחביב שלי, יש לי אוכל וסיגריות", אמר פחות או יותר לעולם הנדהם.
הצלחה לאחר יותר מ-300 שנה
המשפט הגדול של פרמה היה ללא ספק הבעיה המתמטית המפורסמת והיעילה ביותר. הוא היה פתוח למעלה משלוש מאות שנה, הוא נוסח בצורה מאוד ברורה וקריאה ותיאורטית היה אפשר לתקוף על ידי כל אחד, ובעידן הפופולריזציה של המחשבים היה קל יחסית לנסות לשבור שיא נוסף בהערכה פתרונות אפשריים. בהיסטוריה של המתמטיקה נושא זה, באמצעות תפקידו מעורר ההשראה, מילא תפקיד חשוב מאוד של "יוצר תרבות", ותרם להופעתם של דיסציפלינות מתמטיות שלמות. זה מוזר שכן הבעיה עצמה טריוויאלית יחסית ועצם המידע על היעדר השורשים במשוואת פרמה לא תרם הרבה לאוצר הכללי של הידע המתמטי.
בשנת 1847 נשא גבריאל לאמט (1795-1870) הרצאה באקדמיה הצרפתית למדעים והכריז על פתרון הבעיה של פרמה. עם זאת, מיד הבחינו בטעות עדינה בהנמקה. הוא התבסס על שימוש בלתי מורשה במשפט הפירוק הייחודי. אנו זוכרים מבית הספר שלכל מספר יש חלוקה ייחודית לגורמים ראשוניים, למשל, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. למספר 503 אין מחלקים (חוץ מ-1 ו-503 עצמו), כך שלא ניתן להרחיב אותו עוד יותר.
תכונת ייחודיות ההפצה מצויה במספרים שלמים חיוביים, אבל בין קבוצות מספריות אחרות, הם לא חייבים להיות. לדוגמה, עבור מספרי תווים
יש לנו 36 = 22⋅23 ,אבל גם
על ידי ניתוח ההוכחה של לאם, קאמר הצליח להוכיח את תקפות ההשערה של פרמה עבור כמה מפרשיו של p. הוא קרא להם ראשוניים רגילים. זה היה הצעד החשוב הראשון לקראת הוכחה מלאה. מיתוס צמח סביב המשפט של פרמה. "או אולי זה אפילו יותר גרוע - אולי אתה אפילו לא יכול להוכיח שזה אפשרי או בלתי אפשרי לפתור?"
אבל מאז שנות ה-80 כולם הרגישו שהמטרה קרובה. אני זוכר שחומת ברלין עדיין עמדה, וכבר הקשבתי להרצאות על "עוד מעט, בעוד רגע". ובכן, מישהו היה צריך להיות ראשון. אנדרו ווילס סיים את הרצאתו בליחה באנגלית: "אני חושב שפרמה מוכיח את זה", ולקח זמן עד שהקהל הצפוף הבין מה קרה: בעיה מתמטית בת 330 שנה עובדה באינטנסיביות על ידי מאות מתמטיקאים מה- הגדוד עצמו ואינספור חובבים, כמו איבו גונסובסקי מהרומנים של מקושינסקי. ולאנדרו ווילס היה הכבוד ללחוץ ידיים עם האראלד החמישי, מלך נורבגיה. אולי הוא לא שם לב לקצבה הצנועה לפרס הבל, ככמה מאות אלפי יורו - למה הוא צריך כל כך הרבה כסף?
